関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．

$k$を実数とする．$3$次式$f(x)=x^3-kx^2-1$に対し，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$g(x)$は$x^3$の係数が$1$である$3$次式で，方程式$g(x)=0$の$3$つの解が$\alpha\beta,\ \beta\gamma,\ \gamma\alpha$であるものとする．

(1)$g(x)$を$k$を用いて表せ．
(2)$2$つの方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつような$k$の値を求めよ．

$f(x)=\sqrt{2}\sin x \cos x+\sin x+\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．

$x>0$とし，$f(x)=\log x^{100}$とおく．

(1)次の不等式を証明せよ．
\[ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \]
(2)実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]$，$[f(2)]$，$[f(3)]$，$\cdots$，$[f(1000)]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．

関数$f(x)=\log_2 (x+1)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$0$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle f(x)=\frac{k}{2}(f(1)-f(0))$を満たす$x$を$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$x$を$x_k$とおく．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k(x_k-x_{k-1})$を$n$を用いて表せ．

実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=|x^2-6x+5|-x^2+4x+5 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 6$において，$f(x)$は$x=a$で最大値$f(a)$を，$x=b$で最小値$f(b)$をとる．$a,\ b$および$f(a),\ f(b)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$について，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$を求めよ．

微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$x,\ y$に対して
\[ f(x)f(y)-f(x+y)=\sin x \sin y \]
を満たし，さらに$f^\prime(0)=0$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{f(x)}$を求めよ．

$f(x)=x \sin x$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$f^\prime(x)<\displaystyle\frac{5}{2}$を示せ．