「関数」について
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公立 京都府立大学 2014年 第3問区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
公立 県立広島大学 2014年 第1問$a$を実数とし，$a>1$とする．$3$個の関数を
\[ f(x)=-2x^2+2ax,\quad g(x)=-x^2+a^2,\quad h(x)=-2ax+2a^2 \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，$f(x) \leqq g(x) \leqq h(x)$となることを示せ．
(2)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 1,\quad g(x) \leqq y \leqq h(x) \]
で表される領域の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)連立不等式
\[ 1 \leqq x \leqq a,\quad f(x) \leqq y \leqq g(x) \]
で表される領域の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$S(a)=S_1-S_2$の最大値を求めよ．
\[ f(x)=-2x^2+2ax,\quad g(x)=-x^2+a^2,\quad h(x)=-2ax+2a^2 \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，$f(x) \leqq g(x) \leqq h(x)$となることを示せ．
(2)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 1,\quad g(x) \leqq y \leqq h(x) \]
で表される領域の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)連立不等式
\[ 1 \leqq x \leqq a,\quad f(x) \leqq y \leqq g(x) \]
で表される領域の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$S(a)=S_1-S_2$の最大値を求めよ．
公立 福岡女子大学 2014年 第2問関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
公立 福岡女子大学 2014年 第3問実数$t$を$0<t<1$とし，関数$f(x)=|x(x-t)|$に対して，以下の問に答えなさい．
(1)$a$を実数とする．$y=f(x)$のグラフを描き，直線$y=a$と$y=f(x)$の共有点の個数が$3$個になるときの$a$を$t$の式で表しなさい．また，このときの共有点の$x$座標を$t$の式で表しなさい．
(2)関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 |x(x-t)| \, dx$とするとき，$g(t)$を$t$の式で表しなさい．
(3)$g(t)$の最小値を求めなさい．
(1)$a$を実数とする．$y=f(x)$のグラフを描き，直線$y=a$と$y=f(x)$の共有点の個数が$3$個になるときの$a$を$t$の式で表しなさい．また，このときの共有点の$x$座標を$t$の式で表しなさい．
(2)関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 |x(x-t)| \, dx$とするとき，$g(t)$を$t$の式で表しなさい．
(3)$g(t)$の最小値を求めなさい．
公立 福岡女子大学 2014年 第2問関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
公立 島根県立大学 2014年 第3問$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$について，$f(x)$が$x=-1$で極大値$\displaystyle \frac{5}{3}$をとり，$x=3$で極小値$-9$をとるとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
公立 尾道市立大学 2014年 第3問$a$を正の定数とする．関数$f(x)=(x-2)^3-3(x-2)+2$の$0 \leqq x \leqq a$における最大値を$M$とする．このとき次の問いに答えなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値，およびそのときの$f(x)$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(3)$M$を$a$を用いて表わしなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値，およびそのときの$f(x)$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(3)$M$を$a$を用いて表わしなさい．
国立 京都大学 2013年 第1問$a$を$2$以上の実数とし，$f(x)=(x+a)(x+2)$とする．このとき$f(f(x))>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．
国立 横浜国立大学 2013年 第2問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 \left( |t^2-xt|+\frac{1}{2}|t-2x| \right) \, dt \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^2 \left( |t^2-xt|+\frac{1}{2}|t-2x| \right) \, dt \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2013年 第5問関数$f(x)=e^{ax} \ (a>0)$と次の条件(ア)，(イ)を満たす関数$g(x)$がある．
\mon[(ア)] $y=g(x)$のグラフは半円
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 \\
y<q
\end{array}
\right. \]
である．ただし，$p<0,\ q>0,\ r>|p|$とする．
\mon[(イ)] $f(0)=g(0),\ f^\prime(0)=g^\prime(0),\ f^{\prime\prime}(0)=g^{\prime\prime}(0)$
次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q,\ r$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき，$r$を最小にする$a$の値を求めよ．
\mon[(ア)] $y=g(x)$のグラフは半円
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 \\
y<q
\end{array}
\right. \]
である．ただし，$p<0,\ q>0,\ r>|p|$とする．
\mon[(イ)] $f(0)=g(0),\ f^\prime(0)=g^\prime(0),\ f^{\prime\prime}(0)=g^{\prime\prime}(0)$
次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q,\ r$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき，$r$を最小にする$a$の値を求めよ．