関数$f(x)=ax^2+bx+c (a>0)$で定まる放物線$C:y=f(x)$と，$C$に$x=\alpha$で接する接線$\ell$，および，直線$x=\beta (\alpha<\beta)$とで囲まれた領域の面積を$S$とする．このとき，$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表しなさい．

互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2)$a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また，
\[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \]
であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して
\[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \]
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \]
また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3)$f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき，
\[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \]
を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．

関数$\displaystyle y=-2 \sin \theta \cos \theta+2a(\sin \theta+\cos \theta)-a \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値$M(a)$を求めよ．
(4)$M(a)$の最小値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$x^2+ax+a+8=0$が異なる$2$つの実数解をもち，共に$1$より大きくなるような$a$の範囲を求めよ．
(2)${0}^{\circ} \leqq \theta \leqq {180}^{\circ}$のとき，関数$y=\sin^4 \theta-2 \sin^2 \theta+\cos^4 \theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

$a$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-a \cos x}{1+\sin x} (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{-\cos x}{1+\sin x} (0<x<\pi)$とおくとき，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2)$f(x)$が$0<x<\pi$の範囲で極値をもつように$a$の値の範囲を定めよ．また，その極値を$a$で表せ．
(3)$a$が$(2)$で定めた範囲にあるとき，$2$点$(0,\ f(0))$，$(\pi,\ f(\pi))$を通る直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれる図形を$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積を$a$で表せ．

$a,\ b$は定数とする．関数$f(x)=e^{-x} \sin x$，$g(x)=e^{-x} (a \cos x+b \sin x)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して$\displaystyle \frac{d}{dx}g(x)=f(x)$となるように$a,\ b$の値を定めよ．
(2)$(2k-1) \pi \leqq x \leqq 2k \pi (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_k$を$k$の式で表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+x+x^2}$

(ii) $y=(x^2+2x)e^{-x}$

(2)次の不定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int x^2 \log x \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos^2 x+2 \sin x-2} \, dx$

(3)$x>0$とする．無限等比級数
\[ 1+\log x+(\log x)^2+\cdots +(\log x)^n+\cdots \]
が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin x+(\pi-2x) \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$，$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は$0 \leqq x \leqq \pi$で減少することを示せ．
(3)$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(4)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=\pi$で囲まれた部分の面積を求めよ．

二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$k$を$s$で表せ．
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．