「関数」について
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公立 九州歯科大学 2014年 第2問$x$についての$n$次多項式$f(x)$が恒等式$f(x^3)=x^4f(x+1)-15x^5-10x^4+5x^3$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(0)$，$f(-1)$，$f(-8)$の値を求めよ．
(2)$n$の値を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(1)$f(0)$，$f(-1)$，$f(-8)$の値を求めよ．
(2)$n$の値を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
公立 九州歯科大学 2014年 第3問さいころを$2$回続けて投げる．出た目の数の積を$A$とし，$B=\sqrt{A}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．
(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2014年 第1問$f(x)=x^4-2x^3+2x+4$，$g(x)=-1-3 \sqrt{|x-1|}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$，および$2$つの直線$x=-1$と$x=2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$，および$2$つの直線$x=-1$と$x=2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2014年 第4問$f(x)=|x^2-3x+2|$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<a<2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2014年 第7問$f(x)=\log x$，$g(x)=(\log x)^2$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$と関数$y=g(x)$のグラフを$1$つの座標平面上にかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$と関数$y=g(x)$のグラフを$1$つの座標平面上にかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 札幌医科大学 2014年 第4問関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$とする．
(1)関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(2)二つの曲線$y=f(x)$と$y=1-f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(2)二つの曲線$y=f(x)$と$y=1-f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2014年 第1問$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数で$a \neq 0$とする）がある．$d$を正の数として，$f(0)=p$，$f(d)=q$，$f(2d)=r$とおく．
(1)$a,\ b,\ c$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(2)$\displaystyle S_1=\int_0^{2d} f(x) \, dx$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(3)$\displaystyle S_2=\int_0^{2d} |f(x)| \, dx$とおく．$p=1$，$q=0$，$r=3$および$d=1$のとき，$S_2-S_1$を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(2)$\displaystyle S_1=\int_0^{2d} f(x) \, dx$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(3)$\displaystyle S_2=\int_0^{2d} |f(x)| \, dx$とおく．$p=1$，$q=0$，$r=3$および$d=1$のとき，$S_2-S_1$を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第1問関数$f(x)=\cos^3 x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第2問関数$\displaystyle y=a \frac{x^2+1}{x^4+4}+\frac{x^4+4}{x^2+1}$のグラフが$x$軸と共有点をもつような定数$a$の範囲を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第3問関数$\displaystyle f(x)=2x+\frac{10}{x}-\log x$に対して$a_n=f(n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．
(2)$a_n$が最小となる$n$を求めよ．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．
(2)$a_n$が最小となる$n$を求めよ．