実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し，次の条件を考える．

\mon[（イ）] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し，$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である．
\mon[（ロ）] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ．

この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数
\[ f_n(\theta)=(1+\cos \theta) \sin^{n-1} \theta \]
の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値$M_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(M_n)}^n$を求めよ．

複素数を係数とする$2$次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し，次の条件を考える．

\mon[（イ）] $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる．
\mon[（ロ）] $f(x)$の係数$a,\ b$の少なくとも一方は虚数である．

この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$2$次式をすべて求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=x^3-3ax$とする．区間$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．$M$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．

（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．

(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ．また，そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．

$a>0$に対し，関数$f(x)$が
\[ f(x)=\int_{-a}^a \left\{ \frac{e^{-x}}{2a}+f(t) \sin t \right\} \, dt \]
をみたすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$0<a \leqq 2 \pi$において，
\[ g(a)=\int_{-a}^a f(t) \sin t \, dt \]
の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく．曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ．