$a>0$，$b>1$とする．関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し，関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$，$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める．また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める．次の問いに答えよ．

(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$が$A^2+A+E=O$の関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$A^3$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．
(3)$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6+A^7+A^8+A^9+A^{10}$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．
(4)$A$の逆行列$A^{-1}$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の条件をみたしているとする．

$(ⅰ)$ $\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=10$
$(ⅱ)$ $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
$(ⅲ)$ $3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．

また，$\angle \mathrm{DAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{BCD}=\beta$とし，線分$\mathrm{BD}$の長さを$d$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$d^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$d^2$を$\beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$がみたす関係式を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$\alpha,\ \beta$と円の半径$R$を求めよ．

自然数$n$に対して，$1$から$2n$までのすべての自然数を次の条件（ア）および（イ）を満たすように並べた順列$[i_1,\ i_2,\ i_3,\ i_4,\ \cdots,\ i_{2n-1},\ i_{2n}]$の総数を$f(n)$とする．

（ア） $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$i_{2k-1}<i_{2k}$
（イ） $n \geqq 2$ならば$i_1<i_3<\cdots<i_{2n-1}$

たとえば$n=1$のとき条件（ア）を満たす順列は$[1,\ 2]$のみであるから$f(1)=1$となる．

(1)$f(2),\ f(3)$を求めよ．
(2)$n=2,\ 3,\ \cdots$とするとき，$f(n)$と$f(n-1)$の間の関係式を求めよ．
(3)$f(n)$を求めよ．

$1$以上の整数$p,\ q$に対し，$\displaystyle B(p,\ q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \, dx$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$B(p,\ q)=B(q,\ p)$が成り立つことを示せ．
(2)関係式
\[ B(p,\ q+1)=\frac{q}{p} B(p+1,\ q) \qquad B(p+1,\ q)+B(p,\ q+1)=B(p,\ q) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関係式
\[ B(p+1,\ q)=\frac{p}{p+q} B(p,\ q) \qquad B(p,\ q+1)=\frac{q}{p+q} B(p,\ q) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$B(5,\ 4)$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対して，関係式
\[ \frac{x^2}{(\cos \theta+2)^2}+\frac{y^2}{(\sin \theta+3)^2}=1 \]
を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta)$とする．

(1)$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \mathrm{P}(\theta) \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の軌跡の方程式を求めよ．

点$\mathrm{P}$は次の$①$，$②$，$③$の規則に従って数直線上を動く．

\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[　](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．