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国立 信州大学 2010年 第1問次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．
国立 富山大学 2010年 第3問$f(x)=2x^3+3x^2-12x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とするとき，直線$y=ax+a+13$が$a$に関係しない1点を通ることを示せ．また，その点が(1)のグラフ上にあることを示せ．
(3)(1)のグラフと(2)の直線との共有点の個数を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とするとき，直線$y=ax+a+13$が$a$に関係しない1点を通ることを示せ．また，その点が(1)のグラフ上にあることを示せ．
(3)(1)のグラフと(2)の直線との共有点の個数を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第3問定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第2問定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
国立 高知大学 2010年 第2問2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & -1
\end{array} \biggr)$と$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$において，次の関係式を考える．
\begin{align}
& AX=XA & \cdots\cdots\maru{1} \nonumber \\
& X^3=X & \cdots\cdots\maru{2} \nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$X$が\maru{1}を満たすとき，$X$を$a$と$c$だけを用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，\maru{1}と\maru{2}を満たす$X$をすべて求めよ．
(3)$c \neq 0$のとき，\maru{1}と\maru{2}を満たす$X$をすべて求めよ．
0 & 0 \\
1 & -1
\end{array} \biggr)$と$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$において，次の関係式を考える．
\begin{align}
& AX=XA & \cdots\cdots\maru{1} \nonumber \\
& X^3=X & \cdots\cdots\maru{2} \nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$X$が\maru{1}を満たすとき，$X$を$a$と$c$だけを用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，\maru{1}と\maru{2}を満たす$X$をすべて求めよ．
(3)$c \neq 0$のとき，\maru{1}と\maru{2}を満たす$X$をすべて求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第1問一辺の長さが$2s$である正三角形$\mathrm{ABC}$の3つの頂点を$\mathrm{A}(-s,\ 0)$，$\mathrm{B}(s,\ 0)$，C$(0,\ \sqrt{3}s)$とする．$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2=t$であるような点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．
(1)このような点$\mathrm{P}$が存在するための$s,\ t$についての必要十分条件と，この条件の下での点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が頂点$\mathrm{A}$を通る場合の$s$と$t$の関係式を求めよ．またこのときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$\triangle \mathrm{ABC}$とともに図示せよ．
(1)このような点$\mathrm{P}$が存在するための$s,\ t$についての必要十分条件と，この条件の下での点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が頂点$\mathrm{A}$を通る場合の$s$と$t$の関係式を求めよ．またこのときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$\triangle \mathrm{ABC}$とともに図示せよ．
国立 佐賀大学 2010年 第3問曲線$C$を$y=e^x$とする．$C$上の点A$_0(0,\ 1)$における接線と$x$軸の交点をB$_1(b_1,\ 0)$とし，$C$上の点A$_1(b_1,\ e^{b_1})$における接線と$x$軸の交点をB$_2(b_2,\ 0)$とする．これをくりかえし，$C$上の点A$_n(b_n,\ e^{b_n})$における接線と$x$軸の交点をB$_{n+1}(b_{n+1},\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．
国立 福島大学 2010年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}k^2,\ T(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．
(2)関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする．
\[ \int_{-u}^0 t \{ \frac{d}{dt} f(t+u) \} \, dt=-e^{-u} \cos u+uf(0)-u+1 \]
このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して$\displaystyle \int_0^u f(z) \, dz$を求めなさい．
(3)整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．
(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}k^2,\ T(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．
(2)関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする．
\[ \int_{-u}^0 t \{ \frac{d}{dt} f(t+u) \} \, dt=-e^{-u} \cos u+uf(0)-u+1 \]
このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して$\displaystyle \int_0^u f(z) \, dz$を求めなさい．
(3)整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．
国立 防衛大学校 2010年 第1問実数$x,\ y$について，関係式$x^2+xy+y^2 = 3$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
国立 茨城大学 2010年 第2問$a$を$0$でない実数とする．
\begin{align}
& C_1 : y = x^2+(a+1)x-a(2a+1) \nonumber \\
& C_2 : y = -x^2+(3a+1)x+a(2a-1) \nonumber
\end{align}
で表される曲線$C_1$と曲線$C_2$について，以下の各問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$交点をもつことを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の$2$交点を通る直線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$\ell(a)$が$a$の値に関係なく必ず通る定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)(2)で求めた定点$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の$2$交点を結んだ線分上にあるような$a$の値の範囲を求めよ．
\begin{align}
& C_1 : y = x^2+(a+1)x-a(2a+1) \nonumber \\
& C_2 : y = -x^2+(3a+1)x+a(2a-1) \nonumber
\end{align}
で表される曲線$C_1$と曲線$C_2$について，以下の各問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$交点をもつことを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の$2$交点を通る直線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$\ell(a)$が$a$の値に関係なく必ず通る定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)(2)で求めた定点$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の$2$交点を結んだ線分上にあるような$a$の値の範囲を求めよ．