次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

次の関係を満たす関数を求めよ．ただし，$n$は$n \geqq 0$である整数とする．

(1)$f_0(x)=\sin x$，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\sin x+\int_0^\pi \frac{2t}{\pi^2} f_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$2$]$である．
(2)$f_0(x)=x+1$，$x^2 f_{n+1}(x)=x^3+\int_0^x tf_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$3$]$である．

定積分$\displaystyle I=\int_a^b (x-a)(x-b)(x-c) \, dx$について答えよ．ただし，$\displaystyle m=\frac{a+b}{2}$，$\displaystyle h=\frac{b-a}{2}$，$a \neq b$とする．

(1)$(x-a)(x-b)(x-c)$を$c,\ m,\ h,\ t$のみで表せ．ここで，$t$は$t=x-m$である．
(2)定積分$I$を$t=x-m$と変数変換して求めよ．
(3)$I=0$のとき，$a,\ b,\ c$にどのような関係があるか求めよ．

数列$\{a_n\}$が$a_1 = 2,\ a_{n+1} −2a_n +a_na_{n+1}=0$を満たしている．以下の問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$について$a_n>0$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とするとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係を式で表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．

0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]

$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点とする．以下の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t$が$\displaystyle 0 \leqq s \leqq \frac{1}{2},\ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(2)実数$s,\ t$が$3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(3)実数$s,\ t$が$s+2t=2,\ 3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たすとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3,\ \angle \text{AOB}=60^\circ$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s,\ t$の関係式を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．

各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$と関係式
\[ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{a_n+a_{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)$a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．