次の問いに答えよ．

(1)$4$人でじゃんけんを$2$回するとき，$2$回ともあいこになる確率を求めよ．
(2)次の関係式
\[ a_1 = -1,\ a_{n+1} = 2a_n(1-a_n) \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$は，$1-2a_{n+1} = (1-2a_n)^2$を満たすことを示し，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}| = 2|\overrightarrow{b}|$および$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$が成り立つとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^2$を求めよ．
(2)Oを座標平面上の原点とし，Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり，他の2点Q$(x_2,\ y_2)$，R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \]
このとき，三角形OQRが正三角形であることを証明せよ．
(3)点P，Qは(2)と同じものとする．$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．

直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．

\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．

座標空間内に2点A$(0,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ -1,\ 2)$があり，点P$(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．

自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．

各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．