$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．

関係式
\[ a_1=0,\quad \frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_n}=2n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ b_k=\sqrt{\frac{k+1}{k}} (1-\sqrt{a_{k+1}}) \]
とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．

同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を原点として，以下の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されることを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されるベクトルの終点とする．$\alpha,\ \beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．

\mon[$①$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta=1$
\mon[$②$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta \leqq 1$
\mon[$③$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ 1 \leqq \alpha+\beta \leqq 2$

平面上に$2$本の平行な直線の組が$n$組ある．異なる組の直線は平行ではなく，どの$3$本の直線も$1$点で交わることはないとする．これら$2n$本の直線の交点の総数を$a_n$，平面がこれら$2n$本の直線によって分けられている部分の個数を$b_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(4)$b_n$を求めよ．

座標平面上において直線$y=2x$を$\ell$とし，この直線$\ell$に関して対称な$2$点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(u,\ v)$をとる．

(1)直線$\mathrm{PQ}$は直線$\ell$に垂直であるから
\[ v-y=\frac{[アイ]}{[ウ]} (u-x) \qquad \cdots\cdots① \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の中点は直線$\ell$上にあるから
\[ v+y=[エ](u+x) \qquad \cdots\cdots② \]
が成り立つ．
(3)等式$①$と$②$より，$x,\ y$と$u,\ v$の間に関係
\[ \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\frac{1}{[オ]} \left( \begin{array}{cc}
[カキ] & [ク] \\
[ケ] & [コ]
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \qquad \cdots\cdots③ \]
が成り立つ．
(4)$1$次変換$③$を表す行列を$A$とすると，
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
[サ] & [シ] \\
[ス] & [セ]
\end{array} \right),\quad A^{-1}=\frac{1}{[ソ]} \left( \begin{array}{cc}
[タチ] & [ツ] \\
[テ] & [ト]
\end{array} \right) \]
である．

ある自動車が速度$x \; \mathrm{km/h}$で走行しているとき，ブレーキをかけてから停止するまでの距離を$y \; \mathrm{m}$とすると，$x$と$y$の間には$y=ax^2$という関係がある．ただし，$a$は定数とし，$x=50$のとき，$y=25$であるとする．

(1)$a$の値はいくつになるか．
(2)危険を感じてから実際にブレーキをかけるまでの時間が$0.9$秒である運転者が，この車を停止させるまでの距離を$51 \; \mathrm{m}$以下にするためには，速度何$\mathrm{km/h}$以下で走行すればよいか．

次の各問に答えよ．

(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に

$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$

という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．

数列$\{a_n\}$において，初項$a_1$から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$と$a_n$の間に
\[ S_n+3a_n+n-3=0 \]
の関係がある．

(1)初項$a_1$の値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の関係は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{[　]}{[　]}a_n-\frac{[　]}{[　]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項は$\displaystyle a_n=[　] \left( \frac{[　]}{[　]} \right)^n-[　]$である．

座標平面上の点$\mathrm{A}$を通る$2$つの曲線$C_1,\ C_2$の点$\mathrm{A}$における接線に対して，これらの接線のなす角$\displaystyle \theta \left( \text{ただし} 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1$と$C_2$のなす角と呼ぶことにする．

(1)$2$次方程式$x^2-1=ax+b$が重解をもつとき，$a$と$b$の間に$b=[$1$]$の関係式が成り立つ．
(2)放物線$y=x^2-1$の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$y=[$2$]$である．
(3)点$(1,\ 0)$における$2$曲線$y=x^2-1$と$y=x^3+3x^2-3x-1$のなす角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値は$[$3$]$である．

次の空所を埋めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$a_1+a_2+\cdots +a_n$を$S_n$とおく．この$S_n$が関係式$S_n=2a_n-3n (n=1,\ 2,\ \cdots)$をみたすとき，$a_n$の一般項を求めたい．
$S_1=a_1$だから，$a_1=[ア]$であり，同様に，$a_2=[イ]$である．$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$だから，数列$\{a_n\}$は$a_{n+1}=\alpha a_n+\beta$の形の漸化式をみたす．このとき，$\alpha=[ウ]$，$\beta=[エ]$である．数列$\{a_n+\beta\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列であるから，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．