次の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=3,\quad na_{n+1}=3(n+1)a_n+2n(n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n}$と定めるとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．

実数を成分とする行列
\[ M=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
b & 1-a
\end{array} \right),\quad M^\prime=\left( \begin{array}{cc}
1 & b^\prime \\
b^\prime & 1-a^\prime
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
が$MM^\prime=M^\prime M$，$a \neq 0$，$a^\prime \neq 0$を満たし，$P^{-1}MP$が対角行列であるとする．ここで，対角行列とは$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列である．

(1)$a,\ b,\ a^\prime,\ b^\prime$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)$\tan 2\theta$を$a,\ b$を用いた式で表せ．
(3)$P^{-1}M^\prime P$が対角行列であることを示せ．

$x$-$y$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$をとる．このとき、次の各問いに答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を$(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を直径の両端とする円の方程式を
$(x-p_0)^2+(y-q_0)^2={r_0}^2 \quad (p_0,\ q_0,\ r_0\ \text{は定数})$の形に表せ．
(3)$(2)$の結果を用いて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を，$k \ (\neq 0)$を定数として
\[ k\left\{(x-p_0)^2+(y-q_0)^2-{r_0}^2\right\}+ax+by=c \]
と表すとき，$\displaystyle\frac{b}{a},\ \frac{c}{a}$を求めよ．

ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している．生産するための総費用を$c$，設備の規模を$k$とする．製品1リットルの価格を$p$とし
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．

(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．

次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，つぎの関係式を満たす．
\[ \begin{array}{ll}
a_1=5, & a_{n+1}=4a_n+3b_n, \\
b_1=1, & b_{n+1}=3a_n+kb_n
\end{array} \quad (n \geqq 1) \]
すべての$n$に対し$a_n-b_n$が一定の値であるとき，つぎの問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$c_n=a_n+lb_n$とする．$\{c_n\}$が等比数列となる正の整数$l$を求めよ．また，この$\{c_n\}$に対し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を求めよ．

次の$[　]$に当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に書け．

座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．

$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$

だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．

$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線

\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．

(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．

箱の中に赤玉$10$個と白玉$90$個が入っている．この箱から$4$個の玉を同時に取り出すこととする．$1$個が赤玉で$3$個が白玉である確率を$p$とすると，$\displaystyle \frac{1}{n+1}<p<\frac{1}{n}$（$n$は自然数）の関係が成立する．$n$の値を求めよ．

$3$次方程式$x^3-6x^2+ax+a=0$が異なる$3$つの実数解$u,\ v,\ w$をもち，
\[ (u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0 \]
が成り立っているとする．ただし$a$は実数とする．このとき$u,\ v,\ w$の間に成り立つ関係式と$a$の値は次の$3$通りである．

(1)$\displaystyle w=[ノ],\ u+v=[ハ],\ a=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$

(2)$\displaystyle v=[ホ],\ u+w=[マ],\ a=\frac{[ミム]}{[メ]}$

(3)$\displaystyle u=[モ],\ v+w=[ヤ],\ a=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$

ただし，必要ならば，一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$とすると，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
が成り立つことを用いてもよい．