$a,\ d$は$ad \neq 0$をみたす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
0 & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換（移動）を$f$とし，以下の$2$つの条件をみたす直線$\ell$がただ$1$つ存在するときを考える．

$(ⅰ)$ $\ell$は$\mathrm{O}$を通る．
$(ⅱ)$ $f$によって，$\ell$上の点はすべて$\ell$と垂直に交わるある直線$m$上に移される．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$と$d$の関係式を求めよ．
(2)$d>0$とする．$\ell$上に$\mathrm{O}$からの距離が$1$で$x$座標が正となる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．また，直線$\mathrm{PQ}$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最小となるように$a$と$d$の値を定めよ．

$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．

(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．

$a$は実数の定数で，$0<a \leqq 1$とする．$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$の関係式を求めると，$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる．
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき，$k$の最小値は$[$*$す]$である．$k$が最小であるとき，$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である．
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$，$m(a)$と記すと，
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる．
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である．

濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と，濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し，よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする．この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に，最初にあった食塩の量の和は$[$*$] \mathrm{g}$である．
(2)$n (\geqq 1)$回の操作の後，容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$，容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする．$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ y_n=[　] x_{n-1}+[　] y_{n-1} \]
となる．また，$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ x_n=[　] x_{n-1}+[　] y_{n-1} \]
となる．
(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると，
\[ [$* *$] x_n+[$***$] y_n=[$**$] x_{n-1}+[$***$] y_{n-1}=\cdots =[$*$] \]
(4)$(3)$で与えられた関係式を使って，数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると，
\[ x_n=[　] x_{n-1}+[　] \]
となる．この漸化式を解くことによって，$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ x_n=[　] \]
また，$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ y_n=[　] \]
となる．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[　]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[　]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[　]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{OA}$に垂直な直線と点$\mathrm{N}$を通り辺$\mathrm{OB}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．
(2)$x,\ y$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-[イ]) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので，$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=[ウ]$である．
また，$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より，$x,\ y$の関係式は$[エ]=2$である．したがって，$x=[オ]$，$y=[カ]$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{OA}$に垂直な直線と点$\mathrm{N}$を通り辺$\mathrm{OB}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．
(2)$x,\ y$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-[イ]) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので，$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=[ウ]$である．
また，$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より，$x,\ y$の関係式は$[エ]=2$である．したがって，$x=[オ]$，$y=[カ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が関係式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{(3n+1)a_n+n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，$\displaystyle a_{200}=\frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，$\displaystyle \sin \frac{3 \theta}{2}=\frac{[オ] \sqrt{[カ]}}{[キク]}$である．

毎秒$60 \, \mathrm{m}$の速さで真上に打ち上げられた物体の$x$秒後の高さを$y \, \mathrm{m}$とすると，
\[ y=-5x^2+60x \qquad (0 \leqq x \leqq 12) \]
の関係が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)この物体が達する最高地点の高さを求めよ．
(2)物体の高さが$100 \, \mathrm{m}$以下である時間の範囲を求めよ．

$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．