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国立 福井大学 2013年 第3問数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$n \geqq 9$のとき，$S_n>0$となることを示せ．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$n \geqq 9$のとき，$S_n>0$となることを示せ．
国立 福井大学 2013年 第2問数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$S_n>0$となる最小の$n$を求めよ．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$S_n>0$となる最小の$n$を求めよ．
国立 福井大学 2013年 第4問数列$\{r_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ r_1=0,\quad r_{n+1}=\frac{r_n+2}{2r_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r_{n+1}-\alpha=\beta \frac{r_n-\alpha}{2r_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{r_{n+1}-p}{r_{n+1}-q}=k \frac{r_n-p}{r_n-q} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$p,\ q,\ k$の組$(p,\ q,\ k)$を$1$つ求めよ．ただし，$p \neq q$とする．
(3)数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n$を求めよ．
\[ r_1=0,\quad r_{n+1}=\frac{r_n+2}{2r_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r_{n+1}-\alpha=\beta \frac{r_n-\alpha}{2r_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{r_{n+1}-p}{r_{n+1}-q}=k \frac{r_n-p}{r_n-q} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$p,\ q,\ k$の組$(p,\ q,\ k)$を$1$つ求めよ．ただし，$p \neq q$とする．
(3)数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n$を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2013年 第2問実数の変数$x,\ y$の間に$x^2+y^2=18$の関係があるとき，関数$(x+y)^2-6(x+y)+12$の最大値，最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第4問実数$t$の関数$\alpha(t),\ \beta(t)$を$\displaystyle \alpha(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$，$\displaystyle \beta(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$で定める．実数の定数$p$に対して点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$x$座標および$y$座標を，複素数
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．
(1)$\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3)$p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．
(1)$\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3)$p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．
国立 鳥取大学 2013年 第3問$\displaystyle I=\int e^{-x}\sin x \, dx,\ J=\int e^{-x}\cos x \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第4問自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
国立 鹿児島大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第6問$x$は関係式$\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{x}{y}=1+\frac{y}{x}$を満たす正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x,\ y$を求めよ．
(2)$t=2x+y$とするとき，$t^5$の値を求めよ．
(1)$x,\ y$を求めよ．
(2)$t=2x+y$とするとき，$t^5$の値を求めよ．