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明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適切な数を入れよ.

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して,
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である.
(2)開発中のある薬品を製造するために,$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が考案された.また,各々の方式で,失敗せず薬品が製造できる確率は,それぞれ,$90 \, \%$,$70 \, \%$,$50 \, \%$である.これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき,少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は,$[ウ][エ].[オ] \%$である.
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき,初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である.

また,$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.30103$とする.
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$,$f(2)=31$を満たす.さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$,$x=1$で極値をとるとする.このとき,$a=[ス]$,$b=[セ]$,$c=[ソ]$であり,$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており,各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である.すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は,$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである.ただし,各新製品の開発は独立な試行であるとする.企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$,また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする.以下では,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.

(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2011年 第4問
以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ.

(1)放物線$C_1:y=x^2$,$C_2:y=-(x-a)^2+b$がある.$C_1$と$C_2$が点$(2,\ 4)$を共有し,その点における接線が一致するとき,$a=[ ]$,$b=[ ]$である.このとき,$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積は$[ ]$である.
(2)薬剤$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を開発し,$100$種類の病原体に対する有効性を調べた.薬剤$\mathrm{A}$は$36$種類,薬剤$\mathrm{B}$は$57$種類,薬剤$\mathrm{C}$は$24$種類の病原体にそれぞれ有効であった.また,薬剤$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$ともに有効であった病原体は$11$種類,薬剤$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ともに有効であった病原体は$9$種類,薬剤$\mathrm{A}$,$\mathrm{C}$ともに有効であった病原体は$8$種類であった.さらに,薬剤$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$のいずれも有効でなかった病原体は$8$種類であった.以下の問に答えよ.

(i) すべての薬剤が有効である病原体は$[ ]$種類である.
(ii) $2$種類の薬剤だけが有効な病原体は$[ ]$種類である.
(iii) $1$種類の薬剤のみが有効な病原体は$[ ]$種類である.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2010年 第4問
ある感染症の対策について考える.感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり,感染拡大は自然にはその感染症の感染力と,致死性によって予測される.感染経路は,飛沫,接触,飲食などいろいろあり,感染力の制御,つまり感染を広げないために,ワクチン開発はもちろんであるが,外出規制(イベントの自粛や学級閉鎖など),手洗い呼びかけ,などが有効である. \\
ここでは簡単のために,$1$つの感染症のみを考え,ある一定の集団(たとえば$1000$人程度の島)を対象とし,外部との接触,出入りがないと仮定する.最初の時点での過去感染者,未感染者,現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする.現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり,一度感染した人はもう感染しない.また幸いなことにこの感染により死者は生じず,また簡単のために他要因による死者,あるいは出生,転入出もないとする. \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし,$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す.症状は丁度$1$か月続くので,一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである. \\
過去感染者は,それまでの過去感染者に,$1$か月前の現在感染者を足したものである.また,現在感染者は,$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と,この感染症の感染力によって決まる.接触頻度の係数を$a$,感染力の係数を$b$とすると,現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合,未感染者の割合,$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる. \\
$x_0=0$,$y_0=0.9$,$z_0=0.1$として,以下の問いに答えよ.計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ.

(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を,$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ.
(2)$a=1,\ b=1$として,$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ.
(3)$a=1$,感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ.
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして,$a=0.5$,$b=1$とした時の,$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め,(2),(3)の結果と共に,縦軸を過去感染者の割合,横軸を時間として,$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ.
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