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東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(3)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき,$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ.
成城大学 私立 成城大学 2012年 第1問
あるイベントが,金曜日,土曜日,日曜日に,$1$日$1$回ずつ計$3$回開催される.参加するためには,当日に会場でチケット抽せん申し込みをして,その場で当せんする必要がある.また,一度当せんしたら,それ以降の開催日の抽せんには申し込みできない.当せん確率は,金曜日は$\displaystyle \frac{1}{3}$,土曜日は$\displaystyle \frac{1}{5}$,日曜日は$\displaystyle \frac{1}{7}$である.

$\mathrm{A}$は金曜日から抽せんに申し込み,金曜日にはずれたら必ず土曜日に,土曜日にはずれたら日曜日にも抽せん申し込みをする.
$\mathrm{B}$は土曜日から抽せんに申し込み,はずれたら必ず日曜日にも抽せん申し込みをする.

(1)$\mathrm{A}$がいずれかの日にイベントに参加できる確率を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同日にイベントに参加できる確率を求めよ.
(3)各日のチケットの金額は,金曜日は$3000$円,土曜日は$5000$円,日曜日は$7000$円である.$\mathrm{A}$が支払う金額の期待値を求めよ.
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