四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．

(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．

長方形$\mathrm{ABCD}$は，各辺の長さが整数で，面積が$1728$である．また$\mathrm{AB}<\mathrm{BC}$であるとする．下記の空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．

(1)長方形$\mathrm{ABCD}$は$[ア][イ]$通り存在する．
(2)可能な長方形について$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$の総和は$\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}$となる．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さの最大値は$[キ][ク]$である．

長方形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=a$，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=b$とする．頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{BD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．このとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CH}$の長さを$a,\ b$で表せ．

次の問に答えよ．

(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{ACB}={90}^\circ$とし，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$をとり$\mathrm{AD}=x$とする．点$\mathrm{D}$から$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$へ，それぞれ垂線$\mathrm{DE}$，$\mathrm{DF}$を下ろす．

(1)長方形$\mathrm{DECF}$の面積を変数$x$を使って表せ．
(2)長方形$\mathrm{DECF}$の面積が最大となるときの面積と$x$の値を求めよ．

長方形OAB$_1$C$_1$において$\text{OA}=1,\ \angle \text{AOB}_1=\theta \ (0^\circ<\theta<90^\circ)$とする．図のように，この長方形の対角線OB$_1$を一辺とし，$\angle \text{B}_1 \text{OB}_2=\theta$となる長方形OB$_1$B$_2$C$_2$を反時計回りに作る．同様にして$\angle \text{B}_n \text{OB}_{n+1}=\theta$となる長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を作る．次の問いに答えよ．

(1)線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ．
(2)長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ．ただしB$_0=\text{A}$とする．
(3)$\theta=30^\circ$のとき，図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ．


\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）

$xy$平面上にある長方形$\mathrm{OPRS}$を底面とし，三角形$\mathrm{OST}$，三角形$\mathrm{PRQ}$，四角形$\mathrm{OPQT}$，四角形$\mathrm{RSTQ}$を側面とする五面体$\mathrm{OPQRST}$がある．五面体$\mathrm{OPQRST}$が$\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{ST}=\mathrm{TO}=1$，$\angle \mathrm{TOP}=\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{QRS}=\angle \mathrm{RST}=\angle \mathrm{STO}=\theta (90^\circ<\theta<120^\circ)$をみたしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 0,\ 0)$とし，$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=a$とする．

(1)辺$\mathrm{OS}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．ただし，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．
(3)五面体$\mathrm{OPQRST}$の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$xy$平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．

\mon[(a)] 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)] 直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)] Aの$y$座標は，B，C，Dの$y$座標より大きい．

このとき，$a>0,\ b>0$として，辺ABの長さを$2\sqrt{5}a$，BCの長さを$2\sqrt{5}b$とおく．

(1)A，B，C，Dの座標を$a,\ b$で表せ．
(2)長方形ABCDが領域$x^2+(y-5)^2 \leqq 100$に含まれるための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

原点をOとする座標平面上，長方形ABCDが図のように頂点Aは$y$軸の正の部分に，頂点Bは$x$軸の正の部分に，頂点C，Dは第1象限内におかれている．$\text{AB}=2,\ \text{BC}=1$とし$\angle \text{OAB}=t$とおく．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)長方形ABCDの周で$y \leqq 1$にある部分の長さを$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．
(2)$f(t)=3$が成り立つときの$\cos t,\ \sin t$の値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)放物線$y=-x^2+4x+8$と$x$軸とで囲まれた図形に内接し，$x$軸上に$2$つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数$5^{2010}$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(4)関数$y=\sin x-\cos x+\sqrt{2} \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．