「長方形」について
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私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(19 \times 25) \times (21 \times 16)$を計算せよ．
(2)$a^2-b^2-1+2b$を因数分解せよ．
(3)式$(\sin {20}^\circ+\cos {20}^\circ)^2+(\sin {110}^\circ+\cos {110}^\circ)^2$の値を求めよ．
(4)縮尺$\displaystyle \frac{1}{2000}$の地図で，縦$5 \, \mathrm{cm}$，横$0.6 \, \mathrm{cm}$の長方形の土地の実際の面積は何$\mathrm{m}^2$かを求めよ．
(1)$(19 \times 25) \times (21 \times 16)$を計算せよ．
(2)$a^2-b^2-1+2b$を因数分解せよ．
(3)式$(\sin {20}^\circ+\cos {20}^\circ)^2+(\sin {110}^\circ+\cos {110}^\circ)^2$の値を求めよ．
(4)縮尺$\displaystyle \frac{1}{2000}$の地図で，縦$5 \, \mathrm{cm}$，横$0.6 \, \mathrm{cm}$の長方形の土地の実際の面積は何$\mathrm{m}^2$かを求めよ．
公立 兵庫県立大学 2012年 第5問$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b)$，および，$\mathrm{C}(a,\ b)$ \\
$(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と，辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\
$\mathrm{S}(s,\ 0) (0<s<a)$を考える．次の問に答えなさい．
\img{562_2720_2012_1}{25}
(1)辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{CB}$，$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を適切にとれば，四角形 \\
$\mathrm{STUV}$は長方形となる．このとき，$\mathrm{AT}=t$として，$t$が満たすべ \\
き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい．また，定点$\mathrm{S}$に対して， \\
長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい．
(2)(1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい．
$(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と，辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\
$\mathrm{S}(s,\ 0) (0<s<a)$を考える．次の問に答えなさい．
\img{562_2720_2012_1}{25}
(1)辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{CB}$，$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を適切にとれば，四角形 \\
$\mathrm{STUV}$は長方形となる．このとき，$\mathrm{AT}=t$として，$t$が満たすべ \\
き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい．また，定点$\mathrm{S}$に対して， \\
長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい．
(2)(1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい．
国立 大阪大学 2011年 第2問実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．
(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
国立 名古屋大学 2011年 第1問$\displaystyle -\frac{1}{4}<s<\frac{1}{3}$とする．$xyz$空間内の平面$z = 0$の上に長方形
\[ R_s = \{f(x,\ y,\ 0) \; | \; 1 \leqq x \leqq 2+4s,\ 1 \leqq y \leqq 2-3s\} \]
がある．長方形$R_s$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$K_s$とする．
(1)立体$K_s$の体積$V(s)$が最大となるときの$s$の値，およびそのときの$V(s)$の値を求めよ．
(2)$s$を$(1)$で求めた値とする．このときの立体$K_s$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体$L$の体積を求めよ．
\[ R_s = \{f(x,\ y,\ 0) \; | \; 1 \leqq x \leqq 2+4s,\ 1 \leqq y \leqq 2-3s\} \]
がある．長方形$R_s$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$K_s$とする．
(1)立体$K_s$の体積$V(s)$が最大となるときの$s$の値，およびそのときの$V(s)$の値を求めよ．
(2)$s$を$(1)$で求めた値とする．このときの立体$K_s$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体$L$の体積を求めよ．
国立 大阪大学 2011年 第3問実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく．
(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第4問細長い長方形の紙があり，短い方の辺の長さが$a$で長い方が$9a$であったとする．下図のように，この長方形の1つの角(かど)を反対側の長い方の辺に接するように折る．図に示した2つの三角形A，Bについて，次の問いに答えよ．
(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 お茶の水女子大学 2011年 第3問Oを原点とする座標平面上に，方程式$x^2+4y^2=4$で表される楕円$E$がある．楕円$E$の外部の点P$(p,\ q)$から$E$に引いた2本の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．
(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．
(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2011年 第3問$n$を1以上の整数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n+1$に対して，$xy$平面上で，点$(0,\ k)$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell_k$とし，点$(k,\ 0)$を通り$y$軸に平行な直線を$m_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線
\[ \ell_1,\ \ell_2,\ \cdots,\ \ell_n,\ \ell_{n+1} \]
から相異なる2本を選び，直線
\[ m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_n,\ m_{n+1} \]
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考えた長方形のうちから1つとるとき，それが正方形である確率を求めよ．
(1)直線
\[ \ell_1,\ \ell_2,\ \cdots,\ \ell_n,\ \ell_{n+1} \]
から相異なる2本を選び，直線
\[ m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_n,\ m_{n+1} \]
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考えた長方形のうちから1つとるとき，それが正方形である確率を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．