座標空間内で，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0 )$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点にもつ立方体を考える．

(1)頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

$3$辺の長さが$a$と$b$と$c$の直方体を，長さが$b$の$1$辺を回転軸として$90^\circ$回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体を$V$とする．

(1)$V$の体積を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=1$のとき，$V$の体積のとりうる値の範囲を求めよ．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ

座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$xyz$座標空間に，下図のように一辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがある．この立方体を$xy$平面上の直線$y = -x$のまわりに，頂点Fが$z$軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

$\triangle$ABCの辺BC上に点D，辺AC上に点Eがあり，四角形ABDEが円Oに内接している．$\displaystyle \text{AE} = \text{DE},\ \text{AB} = \frac{42}{5},\ \text{AC} = 14,\ \text{BD} = \frac{6}{5}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ．
(2)円Oの半径を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$a$を正の定数とする．2つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=(x-2)^2+4a$の交点をPとする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点Q$(t,\ t^2)$における接線の方程式を求めよ．さらに，その接線のうち$C_2$に接するものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り$y$軸に平行な直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点をRとするとき，線分PRの長さを求めよ．
(3)直線$\ell,\ m$と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．