「長さ」について
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私立 日本女子大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$で，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{DE}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$0<t<1$とする．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$，$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$，$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ．
私立 北海道文教大学 2011年 第5問$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円の内部の点$\mathrm{P}$を通る弦$\mathrm{AB}$について$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=1$であるとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．
私立 神奈川大学 2011年 第3問座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）
私立 北海道文教大学 2011年 第5問円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{AD}=8$，$\mathrm{BD}=7$のとき，以下の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAD}$と$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めなさい．
(2)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積について，$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ADC}}{\triangle \mathrm{ABC}}$の値を求めなさい．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAD}$と$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めなさい．
(2)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積について，$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ADC}}{\triangle \mathrm{ABC}}$の値を求めなさい．
私立 北海道科学大学 2011年 第9問$1$辺の長さが$2$である正四面体の$1$つの面の面積は$[ ]$であり，体積は$[ ]$である．
私立 東北工業大学 2011年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さは$\mathrm{BC}=2 \sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{10}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}$である．このとき，
(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[ ]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ ] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[ ]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ ] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[ ]}$である．
私立 京都女子大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{7}$とする．次の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．
私立 中央大学 2011年 第3問一辺の長さが$a$の正方形を底面とし，高さ$h$の正四角錐がある．下の図のように，この正四角錐に，底面が正方形の正四角柱を内接させる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)内接する正四角柱の底面の一辺の長さを$x$とするとき，この正四角柱の体積を求めよ．
(2)内接する正四角柱の体積が最大になるときの$x$の値を求めよ．また，そのときの正四角柱の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)内接する正四角柱の底面の一辺の長さを$x$とするとき，この正四角柱の体積を求めよ．
(2)内接する正四角柱の体積が最大になるときの$x$の値を求めよ．また，そのときの正四角柱の体積を求めよ．
（図は省略）
私立 久留米大学 2011年 第7問三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点の座標が$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 1)$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さはそれぞれ，$\overline{\mathrm{AB}}=[$16$]$，$\overline{\mathrm{AC}}=[$17$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$18$]$である．
(3)角$\angle \mathrm{BAC}$の角度は$[$19$]$である．
(4)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の半径は$[$20$]$である．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さはそれぞれ，$\overline{\mathrm{AB}}=[$16$]$，$\overline{\mathrm{AC}}=[$17$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$18$]$である．
(3)角$\angle \mathrm{BAC}$の角度は$[$19$]$である．
(4)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の半径は$[$20$]$である．
私立 大同大学 2011年 第7問$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AE}=1$，$\mathrm{CF}=3$とする．このとき$\mathrm{CE}=\mathrm{DE}=\sqrt{[ ]}$，$\mathrm{EF}=\sqrt{[ ]}$であり，$\angle \mathrm{BFE}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．