次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標空間内に点$\mathrm{P}(s+3,\ 2s-1,\ 2s+1)$と点$\mathrm{Q}(2s+3,\ 1-2s,\ s-1)$がある．ただし，$s$は実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \sqrt{[ア] \left( [イ]s^2-[ウ]s+[エ] \right)} \]
であり，$\displaystyle s=\frac{[オ]}{[カ]}$のときに最小値$\sqrt{[キ]}$をとる．

(2)$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta=\angle \mathrm{POQ}$とする．$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよう．$k=\cos \theta$とおくと
\[ k=\frac{[クケ]s+[コ]}{[サ]s^2+[シ]s+[スセ]} \cdots\cdots (*) \]
である．

(i) $\displaystyle s=-\frac{[コ]}{[クケ]}$のとき$k=0$となる．
(ii) $k \neq 0$のときに$(*)$を満たす実数$s$が存在するための条件は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq k \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より$\cos \theta$のとる値の範囲は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq \cos \theta \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．また，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[チ]}{[ツ]}$となるのは$\displaystyle s=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{9} \right)^x-12 \left( \frac{1}{3} \right)^x+40 (-3 \leqq x \leqq -1)$を考える．$-3 \leqq x \leqq -1$のとき，$\displaystyle t=\left( \frac{1}{3} \right)^x$のとりうる値の範囲を求めると$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めると$(m,\ x)=[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．方程式$\cos 2\theta+3 \cos \theta-1=0$を解くと$\theta=[ウ]$である．また，方程式$\displaystyle \log_3 (\sqrt{3} \tan \theta+1)+\log_3 (\cos \theta)=\frac{1}{2}$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$2x^3-ax^2-2x+a$を因数分解すると$[オ]$である．また，$P(x)=2x^3-ax^2-2x+a$，$Q(x)=-x^2+(2a-1)x+2a$とおくとき，すべての正の$x$について$P(x)-Q(x)>0$が成立するような$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が半径$4$の円に内接し，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{3} \mathrm{DA}$とする．このとき，$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=[キ]$であり，$\mathrm{DA}$の長さを求めると$\mathrm{DA}=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a,\ b$を実数（$a \neq b$）とする．$2$つの$2$次関数
\[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \]
の最小値が同じであるとき，$a$を用いて$b$を表すと$b=[ア]$である．このとき，$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$[イ]$である．

(2)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=[ウ]$である．$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$，$(2,\ 3)$の像が，それぞれ，$(-3,\ 5)$，$(-8,\ 12)$であるとき，行列$C$を求めると$C=[エ]$である．
(3)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$，$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし，$a=\cos \alpha$，$b=\cos \beta$とする．$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$であり，$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=[カ]$である．
(4)$k$を正の実数とする．直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$k$の値の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは，$k=[ク]$のときである．
(5)$5$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=[ケ]$である．また，$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき，$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=[コ]$である．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．

円$C:x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{AP}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．また，円$D:x^2+(y-1)^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{OQ}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．時刻$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．