「長さ」について
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私立 北海学園大学 2011年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{B}=2 \theta$，$\angle \mathrm{C}=\theta$とする．$\angle \mathrm{B}$の二等分線が辺$\mathrm{CA}$と交わる点を$\mathrm{D}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AD}=x$とするとき，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さを$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さを$l$とするとき，$l$の値の範囲を求めよ．
(1)$\mathrm{AD}=x$とするとき，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さを$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さを$l$とするとき，$l$の値の範囲を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第10問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$について考える（$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする）．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$4 \sqrt{6}$である．辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{BC}$の長さが，それぞれ，$1$，$5$であり，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{5}$となるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．ただし，辺$\mathrm{CD}$の長さは辺$\mathrm{AD}$の長さより大きいものとする．
私立 自治医科大学 2011年 第14問円$x^2+y^2+4x-6y-12=0$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$y$軸との交点を$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$，線分$\mathrm{CD}$の長さを$b$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2-a^2}{10}$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第5問半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{1}{2}$とする．$\gamma$が$\gamma>0^\circ$かつ$\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第17問$2$つの円$C_1:x^2+y^2-24x-10y+44=0$，$C_2:x^2+y^2-4x+10y+4=0$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$としたとき，$\displaystyle \frac{L^2}{10}$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．
(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．
私立 東北学院大学 2011年 第6問平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LN}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と$\mathrm{LN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{OP}:\mathrm{PM}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{OM}$と$\mathrm{LN}$が垂直であるとき，線分$\mathrm{LN}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LN}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と$\mathrm{LN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{OP}:\mathrm{PM}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{OM}$と$\mathrm{LN}$が垂直であるとき，線分$\mathrm{LN}$の長さを求めよ．
私立 明治大学 2011年 第2問曲線$C:y=x^2$上に，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{B}^\prime (-b,\ b^2)$が与えられている．ただし，$-b<a<0<b$とする．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[ ]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[ ]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[ ]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[ ]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第3問次の連立不等式で表される領域$D$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい．
(1)$y$切片が$k$で，直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする．直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき，$k$のとる範囲は，
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である．
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく．$L$が最大となるのは，$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり，そのとき，$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい．
(1)$y$切片が$k$で，直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする．直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき，$k$のとる範囲は，
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である．
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく．$L$が最大となるのは，$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり，そのとき，$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる．
私立 明治大学 2011年 第4問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AD}$の長さは，それぞれ$3,\ 4$で，$\angle \mathrm{ABC}$は$60^\circ$であるとする．辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とおく．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．以下の問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．
(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．
(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．