「長さ」について
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公立 京都府立大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(5,\ 3,\ -3)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ -1)$をとる．中心が$\mathrm{C}(5,\ 2,\ -2)$，半径が$r$の球面を$S$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\ell$と$S$が平面$z=1$で交点$\mathrm{D}$をもつ．以下の問いに答えよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．
国立 京都大学 2011年 第1問次の各問に答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$12$，$11$，$10$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$12$，$11$，$10$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．
国立 岡山大学 2011年 第1問空間内に点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から出発し，一回につき$x$軸，$y$軸，$z$軸いずれか一つの方向に長さ$1$だけ移動する．
(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．
(2)さいころを投げて$1,\ 2,\ 3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4,\ 5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(3)$(2)$と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．
(2)さいころを投げて$1,\ 2,\ 3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4,\ 5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(3)$(2)$と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
国立 埼玉大学 2011年 第2問各辺の長さが0でない三角形ABCに対し，
\[ P(A) = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \quad P(B) = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \quad P(C) = \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
とおく．このとき以下の問いに，それぞれ理由をつけて答えなさい．
(1)$P(B) = P(C)$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．
(2)$P(A)P(B) = P(C)P(A)$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．
\[ P(A) = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \quad P(B) = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \quad P(C) = \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
とおく．このとき以下の問いに，それぞれ理由をつけて答えなさい．
(1)$P(B) = P(C)$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．
(2)$P(A)P(B) = P(C)P(A)$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．
国立 九州大学 2011年 第4問空間内の$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{4}$，外接円の半径は$1$，$\angle \mathrm{BAC} = 60^\circ,\ \mathrm{AB} > \mathrm{AC}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さを求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第3問1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE} = t \ (0 < t < 1),\ \text{AF} =\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．
国立 東北大学 2011年 第4問平面上に長さ3の線分OAを考え，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$で表す．$0 < t < 1$を満たす実数$t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{a}$となるように点Pを定める．大きさ 2のベクトル$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と角$\theta \ (0 < \theta < \pi)$をなすようにとり，点Bを$\overrightarrow{\mathrm{OB}} =\overrightarrow{b}$で定める．線分OBの中点をQとし，線分AQと線分BPの交点をRとする．\\
\quad このとき，どのように$\theta$をとっても$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直にならないような$t$の値の範囲を求めよ．
\quad このとき，どのように$\theta$をとっても$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直にならないような$t$の値の範囲を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第2問$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第2問$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．