$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．

$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円において，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上にあり，$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$である．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$のとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

一辺$10 \, \mathrm{cm}$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．頂点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AE}$とし，$\mathrm{DE}$の延長が辺$\mathrm{BC}$と交わった点を$\mathrm{F}$とする．このとき次の値を求めなさい．

(1)垂線$\mathrm{AE}$の長さ
(2)$\cos \angle \mathrm{AFD}$の値
(3)正四面体の体積

図のように，円$x^2+y^2=m^2$（ただし，$m \geqq 1$）と，直線$y=x$および直線$y=-x+1$の交点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の値を$m$を用いて求めなさい．

(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$
(2)$\mathrm{BD}$の長さ
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$
（図は省略）

一辺の長さ$1$の正六角形の頂点を時計まわりの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．動点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$上にある．コインを投げ，表が出たら$2$，裏が出たら$1$だけ$\mathrm{P}$を正六角形上で時計まわりに動かすゲームを考える．動点$\mathrm{P}$が最初にちょうど点$\mathrm{A}$上に戻ったときゲーム終了とする．


(1)ちょうど$1$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(2)ちょうど$2$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}}$である．

1個のサイコロを3回投げて，1回目に出た目を$a$，2回目に出た目を$b$，3回目に出た目を$c$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a>2b>c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(3)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする直角三角形を作ることができる$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$のとり方は何通りあるか．
(4)$b=2$のとき，$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a,\ c$の組$(a,\ c)$のとり方は何通りあるか．
(5)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる確率を求めよ．

$xy$平面において，$x$軸の$x < 0$である部分を$C_1$，$x$軸の$x>1$である部分を$C_2$とする．また，2点$(0,\ -1),\ (1,\ -1)$を結ぶ線分を$K$とする．$y>0$をみたす点$(x,\ y)$からは，$C_1$と$C_2$が障害となり，$C_1$と$C_2$の間を通してしか，$K$は見えないものとする．点$(s,\ 1)$から見える$K$の部分の長さを$f(s)$，点$(2,\ t)\ (t>0)$から見える$K$の部分の長さを$g(t)$とおく．ただし，$K$がまったく見えないとき，または，$K$の1点のみが見えるとき，$f(s),\ g(t)$の値は0とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(s)$を求めよ．また，$s$が実数全体を動くとき，関数$f(s)$のグラフを描け．
(2)$g(t)$を求めよ．また，$t$が正の実数全体を動くとき，関数$g(t)$のグラフを描け．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0,\ b>0)$上の点P$(x_0,\ y_0) (0 < x_0 < a,\ y_0>0)$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれA，Bとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{\ x_0^2 \ }{a^2}=t$とおくとき，線分ABの長さ$\overline{AB}$を$a,\ b,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$0<x_0<a$における$\overline{AB}$の最小値を求めなさい．また，そのときのPの座標を求めなさい．

原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．