「長さ」について
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私立 関西大学 2012年 第2問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 1)$がある．次の$[ ]$をうめよ．
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．
私立 関西大学 2012年 第3問$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)次の$[$①$]$から$[$④$]$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は
\[ \left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
3-[$①$] \\ \\
4-[$②$]
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[$①$] \\ \\
[$②$]
\end{array} \right) \]
を計算することにより，$([$③$],\ [$④$])$である．
(2)$B=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$とおく．
点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$([$⑤$])V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$[$⑤$]$をうめよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)次の$[$①$]$から$[$④$]$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は
\[ \left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
3-[$①$] \\ \\
4-[$②$]
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[$①$] \\ \\
[$②$]
\end{array} \right) \]
を計算することにより，$([$③$],\ [$④$])$である．
(2)$B=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$とおく．
点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$([$⑤$])V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$[$⑤$]$をうめよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．
私立 北星学園大学 2012年 第3問$\angle \mathrm{A}=90^\circ$，$\angle \mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{AC}=2$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$へおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{AH}$を直径とする円の円周と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問に答えよ．
(1)円の直径を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)円の直径を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 岡山理科大学 2012年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に，点$\mathrm{P}(4,\ 0)$から引いた$2$つの接線の接点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$，残りの点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に引いた垂線と$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．
私立 青山学院大学 2012年 第4問曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C$とする．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．
私立 愛知学院大学 2012年 第3問周囲の長さが$30 \; \mathrm{cm}$の長方形の面積が$50 \; \mathrm{cm}^2$以上$54 \; \mathrm{cm}^2$以下だとする．このとき，この長方形の$1$辺の長さ$x$の条件を求めなさい．
私立 広島工業大学 2012年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{C}$における接線を$\ell$とする．$\ell$上に$\mathrm{C}$でない点$\mathrm{T}$を，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と反対の側にとる．$\angle \mathrm{ACT}=60^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さと外接円の半径を求めよ．
(2)円弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{CD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さと外接円の半径を求めよ．
(2)円弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{CD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2012年 第5問一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$k$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$となるとき，$k$の値は$[ ]$である．
私立 東北工業大学 2012年 第3問半径$5 \sqrt{2}$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．
私立 成城大学 2012年 第3問座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},\ 2,\ -\sqrt{6})$，$\mathrm{B}(-\sqrt{2},\ 2 \sqrt{3},\ \sqrt{2})$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．