「長さ」について
タグ「長さ」の検索結果
（76ページ目：全1099問中751問～760問を表示）
私立 東北学院大学 2012年 第2問動点$\mathrm{P}$が$xy$平面上を図のように$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$から，まず$x$軸に沿って$\mathrm{A}_1(2^{10},\ 0)$まで進み，次に左に直角に曲がって$\mathrm{A}_2(2^{10},\ 2^9)$まで進み，さらに左に直角に曲がって$\mathrm{A}_3(2^{10}-2^8,\ 2^9)$まで進む．以下同様に線分の長さが
\[ \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_{n}} \quad (n \geqq 1) \]
を満たしながら左に直角に曲がりつつ進むとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}<1$を満たす最小の$n$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}_6$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{A}_{2k} (k \geqq 1)$の座標を$k$の式で表せ．
（図は省略）
\[ \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_{n}} \quad (n \geqq 1) \]
を満たしながら左に直角に曲がりつつ進むとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}<1$を満たす最小の$n$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}_6$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{A}_{2k} (k \geqq 1)$の座標を$k$の式で表せ．
（図は省略）
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
私立 南山大学 2012年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．
(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．
私立 南山大学 2012年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)方程式$|3x-2|+x-5=1$を解くと$x=[ア]$である．また，不等式$2x^2-4>|x-1|$を解くと$[イ]$である．
(2)実数$a$に対し，$3$次方程式$x^3+(a-2)x^2+(16-2a)x-32=0$を考える．この方程式の解のうち$a$によらない解は$x=[ウ]$である．また，この方程式が$2$重解をもつような$a$の値を求めると$a=[エ]$である．
(3)$0<a<1$のとき，$x$についての方程式
\[ \log_2 (8ax-1)+\frac{\log_a (x-a)}{\log_a 2}+1=\log_2 2a \]
の解を$a$で表すと$x=[オ]$である．また，この解を最小にする$a$の値を求めると$a=[カ]$である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=4$とし，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BE}$の長さの比$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}$の値を求めると$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}=[キ]$であり，$\mathrm{AE}$の長さを求めると$\mathrm{AE}=[ク]$である．
(1)方程式$|3x-2|+x-5=1$を解くと$x=[ア]$である．また，不等式$2x^2-4>|x-1|$を解くと$[イ]$である．
(2)実数$a$に対し，$3$次方程式$x^3+(a-2)x^2+(16-2a)x-32=0$を考える．この方程式の解のうち$a$によらない解は$x=[ウ]$である．また，この方程式が$2$重解をもつような$a$の値を求めると$a=[エ]$である．
(3)$0<a<1$のとき，$x$についての方程式
\[ \log_2 (8ax-1)+\frac{\log_a (x-a)}{\log_a 2}+1=\log_2 2a \]
の解を$a$で表すと$x=[オ]$である．また，この解を最小にする$a$の値を求めると$a=[カ]$である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=4$とし，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BE}$の長さの比$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}$の値を求めると$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}=[キ]$であり，$\mathrm{AE}$の長さを求めると$\mathrm{AE}=[ク]$である．
私立 南山大学 2012年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．
私立 明治大学 2012年 第3問空欄$[ ]$に当てはまるものを入れよ．
$t$を正の実数とする．座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．$\mathrm{P}$において$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，$\mathrm{P}$において$\ell_2$に接する放物線$C_2:y=-x^2+ax+b$を考える．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$のもう一つの交点$\mathrm{Q}$は$([ア],\ [イ])$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$([ウ])^{[エ]}$である．
(2)$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積$S$は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \cdot ([キ])^{[ク]} \]
であり，$S$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]}$のときに最小値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$を取る．
(3)$C_2$の頂点$\mathrm{R}$は$([ス],\ [セ]+[ソ])$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心の軌跡は
\[ y=\frac{[タ]}{[チ]}x^2+\frac{[ツ]}{[テ]} \]
である．
$t$を正の実数とする．座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．$\mathrm{P}$において$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，$\mathrm{P}$において$\ell_2$に接する放物線$C_2:y=-x^2+ax+b$を考える．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$のもう一つの交点$\mathrm{Q}$は$([ア],\ [イ])$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$([ウ])^{[エ]}$である．
(2)$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積$S$は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \cdot ([キ])^{[ク]} \]
であり，$S$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]}$のときに最小値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$を取る．
(3)$C_2$の頂点$\mathrm{R}$は$([ス],\ [セ]+[ソ])$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心の軌跡は
\[ y=\frac{[タ]}{[チ]}x^2+\frac{[ツ]}{[テ]} \]
である．
私立 西南学院大学 2012年 第6問原点を$\mathrm{O}$とする空間に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$0^\circ$より大きく$90^\circ$未満のとき，以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_1$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}_1$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)さらに$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_2$とする．$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 2,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_1$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}_1$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)さらに$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_2$とする．$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 2,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$の長さを求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．
円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\qquad $\mathrm{AB}=7 \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=8,\quad \mathrm{CD}=\sqrt{2},\quad \angle \mathrm{ABC}=45^\circ$
とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=[タ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=[チ]$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ツ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=[テ]$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=[ト]$である．
円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\qquad $\mathrm{AB}=7 \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=8,\quad \mathrm{CD}=\sqrt{2},\quad \angle \mathrm{ABC}=45^\circ$
とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=[タ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=[チ]$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ツ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=[テ]$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=[ト]$である．
私立 龍谷大学 2012年 第2問辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$t$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}$の値が最大となるときの$t$の値を求めなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$t$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}$の値が最大となるときの$t$の値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$をとる．また$0<s<1$，$0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．