次の問に答えなさい．

(1)式$8x^2-2x-15$を因数分解すると，
\[ ([$1$]x-[$2$])([$3$]x+[$4$]) \]
となる．
(2)$x$に関する$2$次方程式$2x^2-(2m-3)x-3m=0$が重解を持つとき，$m=[$5$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}} = [$6$] (\sqrt{[$7$]} - \sqrt{[$8$]})$である．

(4)$\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$より大きい整数のうち，最小の整数は[$9$]である．
(5)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする長方形の辺$\mathrm{AB}$の長さを$a$とする．さらに$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$があり，$4$つの三角形$\mathrm{ABE}$，三角形$\mathrm{BCF}$，三角形$\mathrm{CDG}$，三角形$\mathrm{DAH}$はすべて長方形$\mathrm{ABCD}$の外側にある正三角形であるとする．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{A}$をこの順に線分で結んでできる図形の周の長さを$L$とする．\\
\quad $L$を一定とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大になるのは$a=[$10$]$のときで，そのときの長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は[$11$]である．

正の数$a$に対して，空間内の$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{a}},\ 0,\ 0 \right)$，$\mathrm{B} (0,\ \sqrt{a},\ 0)$，$\mathrm{C} (0,\ 0,\ \sqrt{a})$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$a$で表せ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$を$\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S}{\mathrm{BC}}$が最小値をとるときの$a$の値とその最小値を求めよ．

辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$2$，$6$，$6$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．この三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$としたとき，$\displaystyle \frac{18r}{R}$の値を求めよ．

辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$6$，$5$，$7$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{12L}{\sqrt{105}}$の値を求めよ．

直線：$2x-y+3=0$と円：$x^2+y^2+10x-2y+10=0$との相異なる$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$とするとき，$\sqrt{5}a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$とする．これらの内積が$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-7$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=-4$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-6$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\cos A$，$\sin A$の値と三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$は$3$点$(-2,\ -3)$，$(0,\ -1)$，$(1,\ 6)$を通る．このとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求め，さらにこの放物線の頂点の座標を求めよ．
(2)放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(t,\ t^2)$を通り，傾きが$m$であるような直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$が$C$と異なる$2$点で交わる条件を求め，このとき，点$\mathrm{A}$とは異なる交点$\mathrm{B}$の座標を$t$と$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \cos B=\frac{5}{6}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さ，および$\cos A$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=3+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{(x+2)(x-1)+2}{(x-2)(x-1)-2}$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$2x^2-5x+3=0$と$2x^2+3x+a=0$を同時に満たす実数解が，少なくとも$1$つあるような定数$a$の値をすべて求めよ．
(3)周の長さが$a$メートルで，面積が$\displaystyle \frac{a^2}{25}$平方メートル以上の長方形の庭園を造りたい．庭園の縦の長さを$x$メートルとするとき，$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．ただし，$a$は正の定数とする．

角$\mathrm{C}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$を次のようにとる．$\angle \mathrm{CHB}=90^\circ$とし，$\mathrm{D}$を$\mathrm{H}$に関し，$\mathrm{B}$と反対側に$\mathrm{DH}=2$とする．また，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{CD}$とし，$\angle \mathrm{CDH}=60^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\sin A$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ．