$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

1辺の長さが1の正三角形ABCと，線分BCを$1:2$に内分する点Dが与えられている．実数$x \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対し，線分AB上の点Pと線分AC上の点Qを$\text{AP}=\text{CQ}=x$となるように定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分ADの長さを求めよ．
(2)三角形DPQの面積$S$を$x$の式で表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$の最大値と最小値を求めよ．
(4)(2)の$S$の値が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}$となるとき，$x$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，次の関係が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形，または，二等辺三角形であることを示せ．
\[ a \cos A=b \cos B \]
ただし，$a,\ b$はそれぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$の長さを表し，$A,\ B$はそれぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{BAC},\ \angle \mathrm{ABC}$を表す．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$\log_{10}(x+2)-\log_{10}\sqrt{6x+19} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めると[　]．
(2)右記の図のような1辺の長さが1の正六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において \\
$\mathrm{AG}$の長さを求めると[　]．
\img{2_2_2012_2}{10}
(3)箱の中に，平成19年から平成23年の各年に発行された1,000円の商品券が1枚ずつ，5,000円の商品券が1枚ずつ，10,000円の商品券が1枚ずつ，計15枚の商品券が入っている．そこから1枚ずつ3枚の商品券を取り出したとき，取り出された商品券の発行年がすべて異なり，かつそれらの合計が15,000円以上になる確率は[　]である．ただし，どの商品券も同形同質であり，一度取り出された商品券は箱に戻さないものとし，各商品券には発行年と額面が記載されているものとする．

座標平面上の3点$\mathrm{A}(9,\ 12)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(25,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$および，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円と外接円を考える．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円は，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$とそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E},\ \mathrm{F}$で接する．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心と点$\mathrm{A}$を通る直線は，辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{G}$で交わる．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．
(4)点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$xyz$空間内に四面体$\mathrm{PABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$は$xy$平面内にある鋭角三角形とし，頂点$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとする．$\mathrm{H}$から直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{HK}_1$，$\mathrm{HK}_2$，$\mathrm{HK}_3$とする．そのとき$\mathrm{PK}_1 \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{PK}_2 \perp \mathrm{BC}$，$\mathrm{PK}_3 \perp \mathrm{CA}$である．$\angle \mathrm{PK}_1 \mathrm{H}=\alpha_1$，$\angle \mathrm{PK}_2 \mathrm{H}=\alpha_2$，$\angle \mathrm{PK}_3 \mathrm{H}=\alpha_3$とし，$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とする．

(1)$\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ．
(2)3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$は，大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり，向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$，平面$\mathrm{PBC}$，平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする．ただし，$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする．このとき，$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ．
(3)3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を，$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．