「長さ」について
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公立 北九州市立大学 2013年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$は一辺の長さが$3$の正三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$，$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\sin \angle \mathrm{AFB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\sin \angle \mathrm{AFB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第1問$2$辺の長さが$2 \, \mathrm{m}$と$10 \, \mathrm{m}$の長方形の壁に，$2$辺の長さが$1 \, \mathrm{m}$と$2 \, \mathrm{m}$の長方形のタイルを過不足なく敷き詰める．そのような並べ方は何通りあるか答えよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第4問楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の第$1$象限の点$\mathrm{P}$に接線を引き，$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$を第$1$象限で楕円上を動かしたときの線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{AI}$の延長が外接円と交わる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}$の長さが$3$，$\mathrm{AC}$の長さが$4$，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさは${60}^\circ$である．このとき，$\mathrm{DI}$の長さを求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
公立 奈良県立医科大学 2013年 第11問$\overrightarrow{a}$は長さ$1$のベクトル，$\overrightarrow{b}$は長さ$3$のベクトルで，これらのベクトルのなす角度を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$としたとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2}$である．いま，ベクトル$k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$のなす角度が$2 \theta$であるとき，$k$の値を求めよ．
公立 福島県立医科大学 2013年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．
(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．
(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．
(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．
(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．
(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．
(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．
(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．
公立 福島県立医科大学 2013年 第2問一辺の長さが$8$である正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があって，$\mathrm{AD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=5$を満たしている．$\triangle \mathrm{DEF}$の重心$\mathrm{G}$を通り$\triangle \mathrm{DEF}$を含む平面に垂直な直線が，$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面と交わる点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．
公立 福岡女子大学 2013年 第2問$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．
(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]
(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]
国立 東京大学 2012年 第1問次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．
国立 一橋大学 2012年 第1問$1$つの角が$120^\circ$の三角形がある．この三角形の$3$辺の長さ$x,\ y,\ z$は$x<y<z$を満たす整数である．
(1)$x+y-z=2$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(2)$x+y-z=3$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(3)$a,\ b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a\,3^b$を満たす$x,\ y,\ z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．
(1)$x+y-z=2$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(2)$x+y-z=3$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(3)$a,\ b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a\,3^b$を満たす$x,\ y,\ z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．