$\angle \mathrm{A}={36}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の底角$\mathrm{C}$の二等分線が$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{BC}=2$のとき，辺$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)$(1)$の結果を使って，$\sin {18}^\circ$と$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．

$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，$13 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+12 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．

(1)$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$は垂直であることを示せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$，$\angle \mathrm{AOC}=\beta$とおく．$\cos \alpha$および$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$にひいた垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

円周上の点$\mathrm{A}$での接線を$\ell$とする．直線が接線$\ell$と点$\mathrm{B}$で，円と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{BD}=4$となるように交わっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[　]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表すと$[　]$である．

$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく．

このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OC}$上の点とするとき，

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．

次の問いに答えなさい．

実数$t$に対し，一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり，いずれの頂点とも一致しないものとする．

(1)$t$がとる値の範囲は$[　]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(i) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[　]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[　]$となる．
(iii) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは，$t=[　]$のときである．

(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．$S$を$t$を使って表し，また$S$の最小値を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．

$b$を$b>1$となる定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$の座標は${x_0}^2+{y_0}^2=b$，${x_0}^2 \geqq 1$を満たすとする．このとき，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{x_0}{\sqrt{3}},\ x_0{y_0}^2 \right)$に対し，次の問いに答えなさい．

(1)${x_0}^2=t$とおくとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの$2$乗$\mathrm{OQ}^2$を$t$の関数として表しなさい．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを最大にする${x_0}^2$を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{6}$，$\mathrm{CA}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{P}$が，頂点$\mathrm{C}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上にある．次の問いに答えよ．

(1)$\cos C$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}=4$を満たすとき，線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．