「長さ」について
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私立 愛知学院大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$は鈍角三角形で$B=30^\circ$，$a=\sqrt{3}-1$，$c=3-\sqrt{3}$とする．
(1)$b$の長さを求めなさい．
(2)$\cos C$を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(1)$b$の長さを求めなさい．
(2)$\cos C$を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
私立 学習院大学 2013年 第4問$3$つの実数$x,\ y,\ 12-x^2$を$3$辺の長さとする三角形が描けるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$が存在する領域を平面上に図示せよ．また，その領域の面積を求めよ．
私立 学習院大学 2013年 第3問$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はともに平面上の長さ$1$のベクトルで，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$を満たすとする．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は内積を表す．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|$を求めよ．
(2)内積
\[ \left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{b} \right) \]
を最大にする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，その最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|$を求めよ．
(2)内積
\[ \left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{b} \right) \]
を最大にする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，その最大値を求めよ．
私立 学習院大学 2013年 第1問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が条件
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=5,\quad \angle \mathrm{ADC}=60^\circ \]
を満たしている．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径を求めよ．
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=5,\quad \angle \mathrm{ADC}=60^\circ \]
を満たしている．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径を求めよ．
私立 広島修道大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 広島修道大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．線分$\mathrm{BC}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{Q}$をとる．ただし$0<s<1$，$0<t<1$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$，$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき，$s$，$t$の値を求めよ．ここで$\cdot$は内積を表す．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$，$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき，$s$，$t$の値を求めよ．ここで$\cdot$は内積を表す．
私立 日本女子大学 2013年 第3問平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$がある．$t$を$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$を満たす実数とする．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{OA}$上で$\mathrm{AP}=t$となるようにとる．直線$y=1$上の$\mathrm{A}$より右側の部分に点$\mathrm{S}$を$\mathrm{PO}=\mathrm{PS}$となるようにとる．$\angle \mathrm{OPS}$の二等分線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）
私立 日本女子大学 2013年 第1問下の図のように，$F_1$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とする．$F_1$の$3$つの辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_1$の外側に追加して得られる多角形を$F_2$とする．次に，$F_2$の$12$個の辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_2$の外側に追加して得られる多角形を$F_3$とする．以下同様にして，$F_4,\ F_5,\ F_6,\ \cdots$を作るものとする．$F_n$の辺の個数を$K_n$，周の長さを$L_n$，面積を$S_n$とする．
（図は省略）
(1)$K_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(2)$L_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(3)$S_1$と$S_n-S_{n-1} (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)$S_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(5)数列$\{L_n\}$の極限を調べよ．
(6)数列$\{S_n\}$の極限を調べよ．
（図は省略）
(1)$K_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(2)$L_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(3)$S_1$と$S_n-S_{n-1} (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)$S_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(5)数列$\{L_n\}$の極限を調べよ．
(6)数列$\{S_n\}$の極限を調べよ．
私立 東京都市大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$x:1-x$に内分する点を$\mathrm{R}$とおく．ただし，$0<x<1$とする．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．