$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．

座標平面上の$2$つの直線$\ell,\ m$を，それぞれ
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし，$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる． \\
ただし，$s>0$，$t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
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(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ．
(4)線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ．
(5)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．

半径$1$の外接円をもつ三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\cos \theta$の値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点から異なる$3$点を選び，これらを頂点とする三角形を作る．次の問いに答えよ．

(1)作られる三角形が正三角形となる確率を求めよ．
(2)作られる三角形の面積の期待値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=4$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{BAC}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{AL}$の長さを求めよ．

$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 5)$がある．次の問いに答えよ．

(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=1$を満たす．内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$t$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$となるとき，$t$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の周の長さ$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
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