行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$で定まる座標平面上の$1$次変換を$f$とする．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し，その値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)正の整数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とするとき，
\[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \]
が成り立つことを示せ．
(3)$109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ．

$p,\ r$を$-r<p<r$をみたす実数とする．$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(r,\ p^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$，$\mathrm{S}(p,\ r^2)$に対し，線分$\mathrm{PR}$の長さは$1$であるとする．このとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値と，そのときの$\mathrm{P},\ \mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．

$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は内積に関する条件$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}$，および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}$をみたす．辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$は，平面$\mathrm{OMN}$に垂直であるとする．このとき，長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$，および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，$\mathrm{OP}=\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$をみたす点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．辺$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(4)直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき，$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{CE}=t$とする．

(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{DAE}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ADE}$の面積が最小になるときの$t$の値とそのときの面積を求めよ．

正の整数$n$に対し，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において$\sin 4nx \geqq \sin x$を満たす$x$の区間の長さの総和を$S_n$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．

(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の長さを$1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k$とする．このとき，辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき，等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
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(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．