「長さ」について
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公立 高崎経済大学 2014年 第5問$1$辺の長さが$10$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=5$となるように点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=8$となるように点$\mathrm{E}$をとる．また，$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の各問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{GF}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，線分$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．
(4)三角形$\mathrm{IFH}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{GF}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，線分$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．
(4)三角形$\mathrm{IFH}$の面積を求めよ．
公立 県立広島大学 2014年 第2問一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$と，その外接円$O$がある．弧$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$は，$\angle \mathrm{BCP}=\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たすように動く．次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PB}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$の最大値を求めよ．
(3)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$は一定であることを示せ．
(4)$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC}$の最大値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PB}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$の最大値を求めよ．
(3)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$は一定であることを示せ．
(4)$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC}$の最大値を求めよ．
公立 三重県立看護大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$および辺$\mathrm{AC}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$および点$\mathrm{E}$がある．直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{P}$を通る直線が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$のとき，次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい．
(1)$\mathrm{AF}$と$\mathrm{FB}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
(1)$\mathrm{AF}$と$\mathrm{FB}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
公立 島根県立大学 2014年 第2問$\mathrm{AD}=t$（ただし，$t>0$），$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=1$，$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{CDA}={90}^\circ$である四面体$\mathrm{ABCD}$がある．次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．
国立 東北大学 2013年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{COA}=45^\circ$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 東北大学 2013年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{COA}=45^\circ$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第3問辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=k \ (0<k<1)$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする．ただし，点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2013年 第2問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2013年 第2問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第1問正の実数$a,\ b,\ c$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に3点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$がある．$\mathrm{AC}=2,\ \mathrm{BC}=3$かつ$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$となるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．