$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線を$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$とする．

(1)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さを$S,\ a,\ b,\ c$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さの比が$1:2:3$になることはあり得ないことを証明せよ．

$C_1$を半径$1$の円とする．$H_1$を円$C_1$に内接する正六角形とし，正六角形$H_1$に内接する円を$C_2$とする．次の各問に答えよ．

(1)円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$である．
(2)円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする．この操作を繰り返し，$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る．このとき，$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は
\[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+[キ][ク][ケ] \sqrt{[コ]}}{256} \pi \]
である．
(3)円$C_1$に内接する正十二角形に，円$C^\prime$が内接している．このとき，$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{[サ]+\sqrt{[シ]}}{2 \sqrt{2}}$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち$\mathrm{A}$でないものを$\mathrm{E}$とする．以下の問に答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=1$，$\mathrm{BC}=l$とする．$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり線分$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{ABC}$の面積を二等分するように引く．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$の長さの積$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の大きさを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$を$l$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる線分$\mathrm{AP}$および線分$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=a$とする（$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある定数とし，$a$は正の実数とする）．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r$とする．次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AC}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$r$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$r$が最小となるとき，$a$を$\theta$を用いて表せ．また，そのときの$r$の値を求めよ．

$xyz$空間において，$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で接し，中心が$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$であるような球面を$S$とする．点$\mathrm{P}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 3)$に点光源をおくとき，$xy$平面上にできる$S$の影$S^\prime$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{[キ]}$である．$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]},\ [シ],\ \frac{[ス]}{[セ]} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$の円である．
(3)影$S^\prime$は長軸の長さが$[チ] \sqrt{[ツ]}$の楕円の内部である．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (0 \leqq a<b)$に対して，$L(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$の長さとし，$S(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積とする．さらに，$T(a,\ b)$を$a \leqq x \leqq b$の範囲で放物線$y=x^2$と$x$軸で囲まれた図形の面積とする．

(1)$(ⅰ)$ $\displaystyle L(0,\ t)=\frac{1}{2}L(0,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t^2=\frac{1}{[ア]}(\sqrt{[イ]}-[ウ])$となるときである．
$(ⅱ)$ $L(0,\ t)=L(t,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t=\frac{1}{[エ]}(\sqrt{[オ]}-[カ])$のときである．
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle S(0,\ t)=\frac{1}{2}S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[キ]}{[ク]}$となるときである．

$(ⅱ)$ $T(t,\ 2)=S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[ケ]}{[コ]}$となるときである．

辺$\mathrm{AB}$の長さが$4$，辺$\mathrm{AE}$の長さが$\sqrt{6}$の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{HM}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{PR}$の長さが等しくなるように，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とする．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{d}+[シ] \overrightarrow{e}$と表される．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=[ス] \overrightarrow{b}+[セ] \overrightarrow{d}$と表される．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$\sqrt{7}$であるとき，辺$\mathrm{AD}$の長さは$[ソ]$である．

次の空所$[ア]$～$[ソ]$を埋めよ．

図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）

(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．

次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 7)$とのなす角が${60}^\circ$である長さ$\sqrt{2}$のベクトルをすべて求めよ．
(2)不等式$|x-2|>2x-1$を解け．
(3)$y=x^2$のグラフの$x=k$における接線が$y=-x^2+4x-3$のグラフに接している．このとき，$k$の値を求めよ．