三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=6$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積比が$2:3$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}$の長さ$=[　]$
(2)$\mathrm{BD}$の長さ$=[　]$

次の各問に答えよ．

(1)不等式$|x^2-x-6| \geqq x+2$を解け．
(2)方程式$2 \log_3 x-2 \log_x 3+3=0$を解け．
(3)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$4 \mathrm{AC}=3 \mathrm{BD}$の平行四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}$は鋭角である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，次の各問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が$3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとき，線分$\mathrm{PA}$の長さを求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{CD}$上の点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{MF}$と$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{AFM}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AP}:\mathrm{PN}=20:13$のとき，$\mathrm{CN}:\mathrm{ND}$を求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=k$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$の四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，底面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は定数$l,\ m,\ n$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=l \overrightarrow{a}+m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c} (l+m+n=1)$と表される．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が垂直であるとき，$l-m-([ア]-\sqrt{[イ]})n=0$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が底面$\mathrm{ABC}$と垂直であるとき，$\displaystyle l=[ウ]-\frac{\sqrt{[エ]}}{2}$，$m=\sqrt{[オ]}-[カ]$であり，さらに線分$\mathrm{OH}$の長さが$2$であるとき，$k^2=[キ] \sqrt{2}$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

$1$辺の長さが$2$である正$5$角形$\mathrm{ABCDE}$において，対角線の長さを$t$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{q}$とする．

(1)対角線の長さは$t=[$18$]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ED}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{ED}}=[$19$]$である．
(3)内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の値を計算すると$[$20$]$となる．

一辺$30 \, \mathrm{cm}$の正方形の厚紙の四隅から，一辺の長さが$x \, \mathrm{cm}$の正方形を切り取って，その残りを折り曲げ，ふたのない直方体の箱を作る．この箱の容積を$V(x) \, \mathrm{cm}^3$とする．

(1)$V(x)$の最大値を求めなさい．
(2)$V(x)=1000$となるときの$x$の値をすべて求めなさい．

下記に示す三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=4$であり，内側に円が接している．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)内接円の半径$r$の長さを求めよ．

下記に示す四角形$\mathrm{ABCD}$およびそれに外接する円がある．$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=4$とする．また，$\angle \mathrm{BAD}=\theta$，$\angle \mathrm{BCD}={180}^\circ-\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．