「長さ」について
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私立 神戸薬科大学 2015年 第5問一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$があった．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\ 2,\ 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\ 0,\ 2)$のとき，この$2$つのベクトルに垂直で大きさが$\sqrt{6}$であるベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めると，$\overrightarrow{p}=[ソ]$である．平面$\alpha$が点$(0,\ 1,\ 2)$を通るとき，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$におろした垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めると，$\mathrm{OH}=[タ]$である．
私立 神奈川大学 2015年 第2問辺の長さが$1$の正方形を$S_1$とし，$S_1$に内接する円を$C_1$，$C_1$に内接するひとつの正方形を$S_2$，$S_2$に内接する円を$C_2$とする．以下同様に，自然数$n$に対し，正方形$S_n$，円$C_n$を定める．すなわち，正方形$S_n$の内接円が$C_n$であり，正方形$S_{n+1}$は円$C_n$に内接している．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S_n$の辺の長さを$l_n$とするとき，$C_n$の半径を$l_n$で表せ．
(2)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$の内部から$C_n$の内部を除いた部分の面積を$a_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
(1)$S_n$の辺の長さを$l_n$とするとき，$C_n$の半径を$l_n$で表せ．
(2)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$の内部から$C_n$の内部を除いた部分の面積を$a_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
私立 岡山理科大学 2015年 第4問\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 6,\ 0)$，$\mathrm{D}(-6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -6,\ 0)$と線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AC}$上を動く．線分$\mathrm{MP}$，$\mathrm{PD}$の長さの和$l=\mathrm{MP}+\mathrm{PD}$の最小値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を$(2)$で求めたものとする．平面$\mathrm{MPD}$上に線分$\mathrm{BE}$の中点$\mathrm{N}$があることを証明せよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 6,\ 0)$，$\mathrm{D}(-6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -6,\ 0)$と線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AC}$上を動く．線分$\mathrm{MP}$，$\mathrm{PD}$の長さの和$l=\mathrm{MP}+\mathrm{PD}$の最小値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を$(2)$で求めたものとする．平面$\mathrm{MPD}$上に線分$\mathrm{BE}$の中点$\mathrm{N}$があることを証明せよ．
\end{mawarikomi}
私立 東邦大学 2015年 第1問放物線$y=x^2+6x+5$と直線$y=2x+k$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，線分$\mathrm{AB}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，定数$k$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
私立 昭和大学 2015年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
私立 九州産業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
私立 昭和大学 2015年 第4問一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$0<a<1$として，線分$\mathrm{AD}$を$(1-a):a$に内分する点を$\mathrm{O}$，線分$\mathrm{CE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{y}$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos^2 \theta$を$a$で表せ．
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos^2 \theta$を$a$で表せ．
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
私立 東京都市大学 2015年 第3問$1$辺の長さが$1$である正$6$角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$から選んだ$3$点を頂点とする$3$角形はいくつあるか．また，合同な$3$角形は同じと考えると何種類になるか．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACE}$と$\triangle \mathrm{BDF}$の共通部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$から選んだ$3$点を頂点とする$3$角形はいくつあるか．また，合同な$3$角形は同じと考えると何種類になるか．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACE}$と$\triangle \mathrm{BDF}$の共通部分の面積を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の設問に答えよ．
(1)$|3-x|<9$を解きなさい．
(2)周の長さが$20 \, \mathrm{cm}$の長方形の面積が$16 \, \mathrm{cm}^2$より小さくなるときの$1$辺の長さの範囲を求めよ．
(3)フルマラソン（$42.195 \, \mathrm{km}$）を$4$時間$10$分で完走した場合，分速は何$\mathrm{m}$か求めよ．
(4)$0$～$5$までの数字が書かれたカードを$3$枚引いて$3$桁の整数を作りたい．整数はいくつできるか求めよ．ただし，カードは$1$枚ずつ$3$回引いて，一度引いたらもとに戻さない．
(1)$|3-x|<9$を解きなさい．
(2)周の長さが$20 \, \mathrm{cm}$の長方形の面積が$16 \, \mathrm{cm}^2$より小さくなるときの$1$辺の長さの範囲を求めよ．
(3)フルマラソン（$42.195 \, \mathrm{km}$）を$4$時間$10$分で完走した場合，分速は何$\mathrm{m}$か求めよ．
(4)$0$～$5$までの数字が書かれたカードを$3$枚引いて$3$桁の整数を作りたい．整数はいくつできるか求めよ．ただし，カードは$1$枚ずつ$3$回引いて，一度引いたらもとに戻さない．