平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある．また，$a$は$a>1$をみたす定数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{y}$を
\[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \]
により定める．ただし，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し，$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している．

(1)すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は，$a=2$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし，$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする．このとき，$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(a^3,\ b^3)$がある．ただし，$a>0$，$b>0$とする．点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が$x$軸，$y$軸の正の部分と交わり，それぞれの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\ell$が$x$軸となす鋭角を$\theta$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$f(\theta)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$を$a,\ b,\ \sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$f(\theta)$が最小となる$\theta$の値を$\alpha$とおく．$\tan \alpha$と$f(\alpha)$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．

$a,\ b$を実数の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 1)$がある．

三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ \frac{[ウエ]}{[オ]},\ \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]},\ \frac{[コ]}{[サ]},\ \frac{[シ]}{[ス]} \right) \]
である．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$に垂直で，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直であるとする．このとき$a=[セソ]$，$\displaystyle b=\frac{[タ]}{[チ]}$である．以下で，$a,\ b$はこの値であるとする．
線分$\mathrm{CK}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直になるように点$\mathrm{L}$をとるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\left( [ツ],\ [テ],\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right) \]
である．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．
平面$\mathrm{OAB}$において，三角形$\mathrm{KAB}$の外接円の周上に点$\mathrm{P}$をとるとき，線分$\mathrm{LP}$の長さの最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニヌ]}}{[ネ]}$である．

$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．

(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$0<\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})<|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$が成り立つことを示せ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる$t$の値を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$c_y \geqq 0$，$c_z \geqq 0$として，空間に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(0,\ c_y,\ c_z)$，$\mathrm{D}(-2,\ d_y,\ d_z)$を頂点とする正四面体がある．次の問に答えよ．

(1)この正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$[$51$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[$52$]$である．
(2)点$\mathrm{C}$の座標において
\[ c_y=\frac{[$53$] \sqrt{[$54$]}}{[$55$]},\quad c_z=\frac{[$56$] \sqrt{[$57$]}}{[$58$]}, \]
点$\mathrm{D}$の座標において$d_y=[$59$]$，$d_z=[$60$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．

正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，頂点を$\mathrm{O}$とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える．正方形$\mathrm{ABCD}$の$1$辺の長さは$2$で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\sqrt{3}$とする．また，$\mathrm{A}$から$\mathrm{OB}$に下ろした垂線を$\mathrm{AM}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積，および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}=\theta (0<\theta<\pi)$の値を求めよ．