「長さ」について
タグ「長さ」の検索結果
（21ページ目：全1099問中201問～210問を表示）
国立 千葉大学 2015年 第3問$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第1問$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第1問下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．
(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）
(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）
国立 千葉大学 2015年 第2問$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第1問$3$辺の長さが$2,\ 3,\ 4$の三角形について次の問いに答えよ．
(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第4問$a$を正の実数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$辺の長さが$1$，他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である三角形のなかで，面積が最大である三角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$2$辺の長さが$1$，他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である四角形のなかで，面積が最大である四角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．
(1)$1$辺の長さが$1$，他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である三角形のなかで，面積が最大である三角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$2$辺の長さが$1$，他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である四角形のなかで，面積が最大である四角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．
国立 福岡教育大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第5問$a$を実数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ -1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第2問ひし形$D$の$2$つの対角線の長さを$2a,\ 2b$とする．$D$と同じ周の長さ，および同じ面積をもつ長方形を$R$とし，その$2$辺の長さを$x,\ y (x \leqq y)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$D$の周の長さ$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$R$の対角線の長さ$l$と$a+b$の大小を比較せよ．
(4)$a,\ b$が$s=4$を満たしながら動くとき，$l$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$D$の周の長さ$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$R$の対角線の長さ$l$と$a+b$の大小を比較せよ．
(4)$a,\ b$が$s=4$を満たしながら動くとき，$l$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．