「長さ」について
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国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 大分大学 2015年 第1問$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2015年 第1問$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2015年 第1問$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
国立 九州工業大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする．また，点$\mathrm{C}$を通り平面$\mathrm{OAB}$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，線分$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{OAB}$に含まれるとする．すなわち，点$\mathrm{D}$は平面$\mathrm{OAB}$に関して，点$\mathrm{C}$と対称な点である．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第2問ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第2問ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第2問ひし形の紙がある（図$1$）．点線で半分に折ると正三角形になった（図$2$）．これを少し開いて机の上に立てると，三角錐の形になる（図$3$）．その高さを次のようにして求めたい．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
図$4$において，$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が，三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる．空間ベクトルを利用してこの高さを求める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ．さらに，$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき，$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする．$h$を$\cos \theta$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき，$\theta$と$h$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第2問下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．
(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）
(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）