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私立 大阪工業大学 2016年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
私立 広島経済大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$とする．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さは$[$42$]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}}{[$45$]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$46$] \sqrt{[$47$]}}{[$48$]}$である．
(4)$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さは$\displaystyle \frac{[$49$]}{[$50$]}$である．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さは$[$42$]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}}{[$45$]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$46$] \sqrt{[$47$]}}{[$48$]}$である．
(4)$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さは$\displaystyle \frac{[$49$]}{[$50$]}$である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる適切な数を記入しなさい．
(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[ ]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[ ]$である．
(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[ ]$である．
(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[ ]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[ ]$である．
(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
私立 近畿大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．
(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．
私立 名城大学 2016年 第1問次の各問について，答を$[ ]$内に記入せよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$1$で，その中心$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$内にあるとする．$\displaystyle \angle \mathrm{BAO}=\frac{\pi}{6}$，$\displaystyle \angle \mathrm{CAO}=\frac{\pi}{4}$のとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[イ]$である．
(2)$1$から$5$までの数字が書かれた玉が，その数字と同じ個数だけ袋に入っている．この袋の中にある$15$個の玉の中から，$3$個の玉を同時に取り出す．玉に書かれた数字の最大値が$4$以下である確率は$[ウ]$であり，玉に書かれた数字の最大値がちょうど$4$である確率は$[エ]$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$1$で，その中心$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$内にあるとする．$\displaystyle \angle \mathrm{BAO}=\frac{\pi}{6}$，$\displaystyle \angle \mathrm{CAO}=\frac{\pi}{4}$のとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[イ]$である．
(2)$1$から$5$までの数字が書かれた玉が，その数字と同じ個数だけ袋に入っている．この袋の中にある$15$個の玉の中から，$3$個の玉を同時に取り出す．玉に書かれた数字の最大値が$4$以下である確率は$[ウ]$であり，玉に書かれた数字の最大値がちょうど$4$である確率は$[エ]$である．
公立 大阪市立大学 2016年 第3問$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)直線$y=ax+b$が点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{5}{4} \right)$を通るときの，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)直線$y=ax+b$が点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{5}{4} \right)$を通るときの，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．
公立 大阪市立大学 2016年 第3問$0<r<1$を満たす実数$r$に対して，第$1$象限内の曲線$C:x^r+y^r=1$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$をとり，$\ell$を点$\mathrm{P}$における$C$の接線とし，$\ell$が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を曲線$C$上のどこにとっても線分$\mathrm{AB}$の長さが同じになるような$r$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を曲線$C$上のどこにとっても線分$\mathrm{AB}$の長さが同じになるような$r$の値を求めよ．
公立 大阪府立大学 2016年 第2問\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．
公立 大阪府立大学 2016年 第2問\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．