「長さ」について
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私立 ノートルダム清心女子大学 2010年 第3問$n$を$3$以上の自然数とするとき，半径$a>0$の円に内接する正$n$角形の面積を求めなさい．また，この正$n$角形の$n$個の辺の長さの総和を求めなさい．
公立 首都大学東京 2010年 第2問原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．
(2)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい．
(1)長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．
(2)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい．
公立 首都大学東京 2010年 第2問長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周を点$\mathrm{A} = \mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n = \mathrm{B}$で$n$等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
公立 名古屋市立大学 2010年 第3問一辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする高さ$h$の正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．ここで，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$の長さはすべて等しい．正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$に内接する球を$Q_1$とし，また正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$の$4$つの側面と$Q_1$に接する球を$Q_2$とする．以下同様にして球$Q_3,\ Q_4,\ \cdots,\ Q_n$をつくる．次の問いに答えよ．
(1)球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ．
(2)球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ．
(3)球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ．
(4)$h=2\sqrt{2}a$のとき，球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ．
(1)球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ．
(2)球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ．
(3)球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ．
(4)$h=2\sqrt{2}a$のとき，球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第4問直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=90^\circ$，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\angle \mathrm{A}$の$3$等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を，$\mathrm{B}$に近い方から$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$3$等分線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AE}$の長さ$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
公立 高知工科大学 2010年 第2問座標平面上に円$C:x^2+y^2-8x+2y+7=0$と点A$(0,\ 1)$がある．円$C$の中心をB，半径を$r$とする．また点Aを通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
公立 九州歯科大学 2010年 第2問辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを，それぞれ，$4,\ 2,\ b$とする$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\alpha=\angle \mathrm{BAC}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$，$\gamma=\angle \mathrm{ACB}$，$\displaystyle \overrightarrow{u}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．
公立 高知工科大学 2010年 第1問$\angle \mathrm{C}$を直角とし斜辺の長さが$1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{CQ}=x$とする．点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，$\triangle \mathrm{APQ}$を元の三角形に折り重ねる．折り重ねた$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{PQ}$と$\triangle \mathrm{ABC}$が重なってできる図形の面積を$T$とする．次の各問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）
公立 岐阜薬科大学 2010年 第2問一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すべての面が合同な正三角形であり，各頂点は$5$つの正三角形に共有されている．
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．