「長さ」について
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私立 東京電機大学 2010年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第2問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
私立 北海道医療大学 2010年 第2問$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，図のように辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$となるようにとる．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．
\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．
\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．
私立 中央大学 2010年 第2問一辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．まず辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$を決め，辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DA}$上の点$\mathrm{H}$を「四角形$\mathrm{EFGH}$が長方形になる」ようにとる．線分$\mathrm{BE}$の長さを$x (0<x<1)$とおき，以下の設問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{BF}$の長さを$x$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FCG}$の面積を$x$で表せ．
(1)線分$\mathrm{BF}$の長さを$x$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FCG}$の面積を$x$で表せ．
私立 玉川大学 2010年 第3問半径$1$の球に内接する直方体を考える．これらの体積の最大値$M$を求めたい．
(1)直方体の$1$つの辺の長さを$x$と固定したときの直方体の体積の最大値$V(x)$を求めよ．
(2)$M$を求めよ．
(1)直方体の$1$つの辺の長さを$x$と固定したときの直方体の体積の最大値$V(x)$を求めよ．
(2)$M$を求めよ．
私立 広島工業大学 2010年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$とする．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 日本福祉大学 2010年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 日本福祉大学 2010年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．