「長さ」について
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私立 広島国際学院大学 2010年 第2問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，その面積$S$は$12 \sqrt{5}$に等しく，また$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$c=9$である．ここで$c$は辺$\mathrm{AB}$の長さであり，$A=\angle \mathrm{BAC}$である．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．
私立 北星学園大学 2010年 第2問底面の半径が$a$，高さが$2a$の円柱にちょうど入る球または円錐がある．以下の問に答えよ．
(1)この円柱，球，円錐の体積の比を求めよ．
(2)この円錐と同じ表面積を持つ正四面体の$1$辺の長さを求めよ．
(1)この円柱，球，円錐の体積の比を求めよ．
(2)この円錐と同じ表面積を持つ正四面体の$1$辺の長さを求めよ．
私立 北星学園大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 北海道科学大学 2010年 第9問半径$1$の円において，直径$\mathrm{AB}$と円周上の点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で，四角形$\mathrm{ABCD}$を作る．$\angle \mathrm{A}=75^\circ$，$\angle \mathrm{B}=60^\circ$のとき，$\angle \mathrm{DAC}=[ ]$である．また，$\mathrm{CD}$の長さは$[ ]$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 北海道科学大学 2010年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=4$，$A=120^\circ$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 北海道科学大学 2010年 第11問図の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
私立 北海道科学大学 2010年 第14問直線$\ell:y-2x-4=0$と，直線$\ell$に垂直で原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通る直線$m$との交点を$\mathrm{X}$とする．点$\mathrm{X}$の座標は$[ ]$であり，線分$\mathrm{OX}$の長さは$[ ]$である．
私立 日本女子大学 2010年 第1問図のように，$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=10$の四角形$\mathrm{ABCD}$が円$\mathrm{O}$に内接するものとする．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
私立 東北工業大学 2010年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さはそれぞれ$9,\ 6,\ 5$とする．また，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にはそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さはすべて等しく，その値が$a$であるとする．このとき，
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
私立 獨協医科大学 2010年 第3問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．