「長さ」について
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国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
国立 琉球大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．$x$に関する方程式$4^x-2^{a+x}+2^a=0$が実数解を持つように$a$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形ABCの三辺を$\text{AB}=4,\ \text{AC}=3,\ \text{BC}=\sqrt{13}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，三角形ABCの重心をGとするとき，線分AGの長さを求めよ．
(1)$a$を実数とする．$x$に関する方程式$4^x-2^{a+x}+2^a=0$が実数解を持つように$a$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形ABCの三辺を$\text{AB}=4,\ \text{AC}=3,\ \text{BC}=\sqrt{13}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，三角形ABCの重心をGとするとき，線分AGの長さを求めよ．
国立 旭川医科大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
国立 滋賀医科大学 2010年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$とする．
(1)三角形$\mathrm{OAB},\ \mathrm{OAC},\ \mathrm{OBC},\ \mathrm{ABC}$はすべて直角三角形であることを示せ．
(2)$\mathrm{OC}$の中点$\mathrm{M}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{N}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{CN}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表すときの$s,\ t$を，長さ$\mathrm{OA},\ \mathrm{OB}$で表せ．
(1)三角形$\mathrm{OAB},\ \mathrm{OAC},\ \mathrm{OBC},\ \mathrm{ABC}$はすべて直角三角形であることを示せ．
(2)$\mathrm{OC}$の中点$\mathrm{M}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{N}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{CN}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表すときの$s,\ t$を，長さ$\mathrm{OA},\ \mathrm{OB}$で表せ．
国立 長岡技術科学大学 2010年 第1問平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．
国立 京都教育大学 2010年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角の大きさを$A,\ B,\ C$で表し，また，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．このとき，$\displaystyle \frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$が成り立つ$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形であるか．
国立 千葉大学 2010年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$は，1辺の長さが1の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．直線$\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t \overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$\triangle \mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第2問4辺の長さが$\mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．$\mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．
国立 宮城教育大学 2010年 第1問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{DE}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{X}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．