1辺の長さが2の正六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$ を考える．さいころを3回投げ，出た目を順に$i,\ j,\ k$とするとき，$\triangle \mathrm{A}_i \mathrm{A}_j \mathrm{A}_k$の面積を2乗した値を得点とする試行を行う．ただし，$i,\ j,\ k$の中に互いに等しい数があるときは，得点は0であるとする．

(1)得点が0となる確率を求めよ．
(2)得点が27となる確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さは1，頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CA}$に下ろした垂線の長さは$\sqrt{2}$，頂点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さは2である．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積と，内接円の半径，および，外接円の半径を求めよ．

$xy$平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．

\mon[(a)] 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)] 直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)] Aの$y$座標は，B，C，Dの$y$座標より大きい．

このとき，$a>0,\ b>0$として，辺ABの長さを$2\sqrt{5}a$，BCの長さを$2\sqrt{5}b$とおく．

(1)A，B，C，Dの座標を$a,\ b$で表せ．
(2)長方形ABCDが領域$x^2+(y-5)^2 \leqq 100$に含まれるための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たしている．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(3,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 1)$がある．

(1)$z$軸上の点C$(0,\ 0,\ m)$から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるような$m$の値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径$r$を求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．