「鋭角三角形」について
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（3ページ目：全39問中21問～30問を表示）
私立 広島工業大学 2013年 第6問正八角形の$8$つの頂点から$3$つを選んで三角形を作る．次の問いに答えよ．
(1)三角形の総数を求めよ．
(2)直角三角形の総数を求めよ．
(3)鋭角三角形の総数を求めよ．
(1)三角形の総数を求めよ．
(2)直角三角形の総数を求めよ．
(3)鋭角三角形の総数を求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第5問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$で表す．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にあり，$\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB},\ \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC},\ \mathrm{FD} \perp \mathrm{CA}$を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ．
(3)$\alpha$が一定のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ．
(3)$\alpha$が一定のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ．
国立 岐阜大学 2012年 第3問鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
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（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
国立 岐阜大学 2012年 第3問鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
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（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
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（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
国立 京都工芸繊維大学 2012年 第2問$xyz$空間内に四面体$\mathrm{PABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$は$xy$平面内にある鋭角三角形とし，頂点$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとする．$\mathrm{H}$から直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{HK}_1$，$\mathrm{HK}_2$，$\mathrm{HK}_3$とする．そのとき$\mathrm{PK}_1 \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{PK}_2 \perp \mathrm{BC}$，$\mathrm{PK}_3 \perp \mathrm{CA}$である．$\angle \mathrm{PK}_1 \mathrm{H}=\alpha_1$，$\angle \mathrm{PK}_2 \mathrm{H}=\alpha_2$，$\angle \mathrm{PK}_3 \mathrm{H}=\alpha_3$とし，$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とする．
(1)$\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ．
(2)3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$は，大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり，向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$，平面$\mathrm{PBC}$，平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする．ただし，$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする．このとき，$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ．
(3)3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を，$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ．
(1)$\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ．
(2)3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$は，大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり，向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$，平面$\mathrm{PBC}$，平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする．ただし，$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする．このとき，$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ．
(3)3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を，$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ．
私立 南山大学 2012年 第2問座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(4,\ 5,\ 4)$，$\mathrm{B}(6,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 1,\ 3)$がある．
(1)$3$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれになるか，(1)の結果を用いて示せ．
(3)点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$から，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$までの距離がそれぞれ$\sqrt{18}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{19}$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$3$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれになるか，(1)の結果を用いて示せ．
(3)点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$から，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$までの距離がそれぞれ$\sqrt{18}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{19}$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$で面積が$3+\sqrt{3}$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径
(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径
私立 杏林大学 2012年 第1問$[カ]$，$[キ]$の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを$1$ずつ選べ．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．