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鳥取大学 国立 鳥取大学 2011年 第4問
半径$a\;$cmの球$B$を,球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒$v\;$cmの速さで下の方向に動かし,水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく.球$B$を沈め始めてから$t$秒後までにあふれ出る水の体積を$V\;$cm$^3$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$a,\ v$は正の定数で,容器$Q$に球$B$を完全に水没させることができるとする.

(1)$V$を$a,\ v,\ t$の式で表せ.また変化率$\displaystyle \frac{dV}{dt}$が最大になるのは,沈め始めてから何秒後か.
(2)容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており,開口した面は水平に保たれている.球$B$は完全に水面下に入った瞬間,水面と容器$Q$の3つの面に接するという.$b$を$a$で表せ.
青山学院大学 私立 青山学院大学 2011年 第5問
曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に,時刻$t$における水の体積が$vt$となるように,単位時間あたり$v$の割合で水を注入する.ただし,$v$は正の定数であり,$y$軸の負の方向を鉛直下方とする.

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ.
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を,$h$を用いて表せ.ただし,$h$は容器の底から測った高さである.
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における,水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ.
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