「鈍角三角形」について
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国立 奈良女子大学 2012年 第1問$x$を正の実数とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x,\ \mathrm{BC}=x+1,\ \mathrm{CA}=x+2$とする．次の問いに答えよ．
(1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{B}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が鈍角三角形となる$x$の値の範囲を求めよ．
(1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{B}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が鈍角三角形となる$x$の値の範囲を求めよ．
私立 南山大学 2012年 第2問座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(4,\ 5,\ 4)$，$\mathrm{B}(6,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 1,\ 3)$がある．
(1)$3$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれになるか，(1)の結果を用いて示せ．
(3)点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$から，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$までの距離がそれぞれ$\sqrt{18}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{19}$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$3$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれになるか，(1)の結果を用いて示せ．
(3)点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$から，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$までの距離がそれぞれ$\sqrt{18}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{19}$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
私立 西南学院大学 2011年 第2問次の問に答えよ．
(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．
(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．
私立 上智大学 2011年 第3問正$n$角形の頂点から同時に$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの$3$点が選ばれるかは同様に確からしいとする．
(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．
(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．
私立 大同大学 2011年 第8問次の命題$①$～$⑥$を考える．ただし$a,\ b,\ x$は実数とする．
$① a>b$ならば$a-b>1$
$② a>b$ならば$b-a<1$
$③ a^2=b^2$ならば$a=b$
$④ x>3$ならば$x^2-x-6>0$
$⑤ x^2-x-6>0$ならば$x>3$
$⑥ $鈍角三角形の最小の角は${45}^\circ$より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．
$① a>b$ならば$a-b>1$
$② a>b$ならば$b-a<1$
$③ a^2=b^2$ならば$a=b$
$④ x>3$ならば$x^2-x-6>0$
$⑤ x^2-x-6>0$ならば$x>3$
$⑥ $鈍角三角形の最小の角は${45}^\circ$より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．
公立 岐阜薬科大学 2011年 第5問正$n$角形（$n$は$3$以上の整数）の頂点から重複を許して$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=6$とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を求めよ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n=2k$（$k$は$3$以上の整数）とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を$k$を用いて表せ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(iii) 鋭角三角形ができる確率を$P_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(1)$n=6$とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を求めよ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n=2k$（$k$は$3$以上の整数）とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を$k$を用いて表せ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(iii) 鋭角三角形ができる確率を$P_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
公立 県立広島大学 2010年 第1問大小二つのサイコロを同時に振り，大きいサイコロの出た目を$a$，小さいサイコロの出た目を$b$とする．次の確率を求めよ．
(1)$a<5,\ b<5,\ a+b>5$を満たす確率
(2)$a,\ b,\ 5$を$3$辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3)二つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad x^2+2abx+16=0 \]
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率
(1)$a<5,\ b<5,\ a+b>5$を満たす確率
(2)$a,\ b,\ 5$を$3$辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3)二つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad x^2+2abx+16=0 \]
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率