「金額」について
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国立 鳥取大学 2016年 第2問白玉が$6$個，赤玉が$5$個入った袋がある．以下の問いに答えよ．
(1)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，最初に赤玉が連続して$4$個出て，かつ最後に赤玉が出る確率を求めよ．
(2)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，白玉と赤玉が交互に出る確率を求めよ．
(3)袋から$5$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個につき$1000$円をもらい，赤玉$1$個につき$500$円を支払うものとする．このとき，もらった金額の合計額が支払った金額の合計額を上回る確率を求めよ．
(1)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，最初に赤玉が連続して$4$個出て，かつ最後に赤玉が出る確率を求めよ．
(2)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，白玉と赤玉が交互に出る確率を求めよ．
(3)袋から$5$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個につき$1000$円をもらい，赤玉$1$個につき$500$円を支払うものとする．このとき，もらった金額の合計額が支払った金額の合計額を上回る確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．
私立 上智大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$x^2+3$で割ると余りは$x+3$であり，$x^2+x+2$で割ると余りは$3x+5$である．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=[ウ],\quad d=[エ] \]
である．
(2)$x$の関数
\[ f(x)=(\log_2 x)^2+\log_2 (\sqrt{2}x) \]
は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$をとる．
(3)総数$100$本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は下の表の通りである．この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値は$[ケ]$円であり，$2$本のくじを同時に引くときの賞金の合計金額の期待値は$[コ]$円である．
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
& 賞金 & 本数 \\ \hline
$1$等 & $1000$円 & $1$本 \\ \hline
$2$等 & $500$円 & $2$本 \\ \hline
$3$等 & $200$円 & $5$本 \\ \hline
はずれ & $0$円 & $92$本 \\ \hline
\end{tabular}
(1)整式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$x^2+3$で割ると余りは$x+3$であり，$x^2+x+2$で割ると余りは$3x+5$である．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=[ウ],\quad d=[エ] \]
である．
(2)$x$の関数
\[ f(x)=(\log_2 x)^2+\log_2 (\sqrt{2}x) \]
は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$をとる．
(3)総数$100$本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は下の表の通りである．この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値は$[ケ]$円であり，$2$本のくじを同時に引くときの賞金の合計金額の期待値は$[コ]$円である．
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
& 賞金 & 本数 \\ \hline
$1$等 & $1000$円 & $1$本 \\ \hline
$2$等 & $500$円 & $2$本 \\ \hline
$3$等 & $200$円 & $5$本 \\ \hline
はずれ & $0$円 & $92$本 \\ \hline
\end{tabular}
公立 釧路公立大学 2014年 第4問以下の各問に答えよ．
(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．
(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．
(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．
(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．
(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．
(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．
(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 山口大学 2013年 第3問今年$6$万円，来年$27$万円の収入がある人がいる．この人は黄金が大好きである．この人が，今年$s$万円，来年$t$万円の黄金を購入すると，$f=s^2t$で定められる満足度が得られるとする．この人が今年は$6$万円以下の黄金を購入した場合，来年は，残りの$(6-s)$万円と，$(6-s)$万円に対する$50 \%$の利息と，来年の収入の$27$万円をすべて合わせた金額だけ購入できる．一方，来年の収入から借りてきて今年の$6$万円と合わせて今年購入することもできるが，借りた金額の他に，借りた金額の$50 \%$だけ来年の収入が減るとする．ただし，$s,\ t$は$0$以上の実数とし，来年の収入から借りる金額は$18$万円を限度とする．また，収入と得られた利息は来年末までにはすべて黄金の購入に使うとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．
(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．
公立 釧路公立大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
国立 九州大学 2012年 第3問100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．
(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．
(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．