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京都教育大学 国立 京都教育大学 2014年 第5問
幅$30 \, \mathrm{cm}$の長方形の金属板を,図$1$の点線で折り曲げて雨どいを作る.図$2$は折り曲げた金属板のどの面にも垂直な平面による断面である.また,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{CP}$は水平面に垂直,$\mathrm{AC}$は水平で,$\mathrm{AB}$の長さは$10 \, \mathrm{cm}$であるとする.$\mathrm{CP}$の長さを$x \, \mathrm{cm} (0<x<10)$,雨どいの上記平面による断面積(水が流れることのできる部分の断面積)を$S \, \mathrm{cm}^2$とするとき,次の問に答えよ.ただし,金属板の厚みは無視する.

(1)$S$を$x$で表せ.
(2)$S^2$を考えて,$S$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ.
(図は省略)
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